ANEL
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Tópicos: Anel não
Associativo | Anel (ou Anel Associativo) | Anel com Unidade | Anel
Comutativo | Anel de Divisão | Anel Comutativo com Unidade |
Domínio de Integridade | Anel de Integridade |
Domínio
ANEL
NÃO ASSOCIATIVO
Um anel não associativo é uma terna (A,
+, ×) onde A é um conjunto munido de uma operação que chamamos de adição (denotada por +) e uma operação que chamamos de multiplicação (denotada por ×) tais
que cumprem-se os axiomas de anel não associativo:
ANEL NÃO ASSOCIATIVO (A, +,
×)
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ADIÇÃO
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MULTIPLICAÇÃO
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| S1)
Associatividade (da adição): "x,y,z
Î A, (x + y) + z
= x + (y + z)
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| S2)
Existência de elemento neutro: $0ÎA,
" xÎA, x + 0 = 0 + x = x
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| S3)
Existência do elemento simétrico: "x Î A,
$(-x) Î
A, x + (-x)
= (-x) + x = 0
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| S4)
Comutatividade: "x,y Î A, x
+ y = y + x
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ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
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| DD)
Distributividade a direita da multiplicação com
respeito a adição "x,y,z Î A,
(x + y) × z = (x × z)
+ (y × z)
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| DE)
Distributividade a esquerda da multiplicação com
respeito a adição "x,y,z Î A,
x × (y + z) = (x × y)
+ (x × z)
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Um anel não associativo também pode ser
definido como uma terna (A, +, ×) na qual (A,
+) é um grupo
abeliano, (A, ×) é um
grupóide e vale a distributividade a direita ("x,y,z
Î A,
x × (y + z) = (x × y)
+(x × z)) e a esquerda ("x,y,z
Î A,
(x + y)×z = x×z + y×z)
da multiplicação com respeito a adição.
ANEL (ANEL
ASSOCIATIVO)
Um anel associativo, ou simplesmente anel, é
um conjunto A munido de uma operação que chamamos
adição e denotamos por +, e de outra operação que chamamos
multiplicação e denotamos por × (ou por · ) satisfazendo os
axiomas de anel, a saber:
ANEL
(A, +, ×)
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ADIÇÃO
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MULTIPLICAÇÃO
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| S1)
Associatividade (da adição): "x,y,z
Î A, (x+y)+z =
x+(y+z)
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P1)
Associatividade " x,y,z Î A
(x×y)×z = x×(y×z)
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| S2)
Existência de elemento neutro: $0ÎA,
"xÎA, x+0 = 0+x = x
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| S3)
Existência do elemento simétrico: "xÎA,
$(-x)ÎA, x+(-x) = (-x)+x
= 0
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| S4)
Comutatividade: " x,yÎ A, x
+ y = y + x
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ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
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| DD)
Distributividade da multiplicação a direita da adição " x,
y, z Î A, (x
+ y) × z = (x × z)
+ (y × z)
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| DE)
Distributividade da multiplicação a esquerda da
adição " x, y, z Î A,
x × (y + z) = (x × y)
+ (x × z)
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Podemos denotar o produto de dois elementos por
justaposição escrevendo xy no lugar de x×y
ANEL
COM UNIDADE
Um anel com elemento neutro relativo a
multiplicação é chamado anel com unidade. Um anel com
unidade é um anel (A, +, ×) no qual existe 1A Î A tal
que para todo x em A vale: 1A×x
= x×1A = x
ANEL
COM UNIDADE (A, +, ×)
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ADIÇÃO
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MULTIPLICAÇÃO
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| S1)
Associatividade (da adição): " x, y,
z Î A, (x + y) + z
= x + (y + z)
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P1)
Associatividade " x, y, z Î A
(x × y) × z = x ×
(y × z)
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| S2)
Existência de elemento neutro: $0ÎA,
"xÎA, x + 0 = 0 + x = x
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P2)
Existência de elemento neutro $1ÎA,
"xÎA, x × 1 = 1 × x = x
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| S3)
Existência do elemento simétrico: "xÎA,
$(-x)ÎA, x + (-x) = (-x)
+ x =0
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| S4)
Comutatividade: "x,y Î A, x
+ y = y + x
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ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
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| DD)
Distributividade da multiplicação a direita da adição "x,y,z
Î A, (x + y) × z
= (x × z) + (y × z)
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| DE)
Distributividade da multiplicação a esquerda da
adição " x,y,z Î A,
x × (y + z) = (x × y)
+ (x × z)
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ANEL
COMUTATIVO
Um anel comutativo é um anel (A, +,
×) onde a multiplicação é comutativa, isto é, um anel
comutativo é um anel (A, +, ×) no qual para todos x,
y em A temos x × y = y
× x
ANEL
COMUTATIVO (A, +, · )
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ADIÇÃO
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MULTIPLICAÇÃO
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| S1)
Associatividade (da adição): "x,y,z
Î A, (x + y) + z
= x + (y + z)
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P1)
Associatividade "x,y,z Î A
(x × y) × z = x ×
(y × z)
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| S2)
Existência de elemento neutro: $0ÎA,
"xÎA, x + 0 = 0 + x = x
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| S3)
Existência do elemento simétrico: "xÎA,
$(-x)ÎA, x + (-x) = (-x)
+ x =0
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| S4)
Comutatividade: "x,yÎA, x
+ y = y + x
|
P4)
Comutatividade "x,yÎA, x
× y = y × x
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ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
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| DD)
Distributividade a direita da multiplicação com
respeito a adição " x,y,zÎA,
(x + y) × z =(x × z)
+ (y × z)
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| DE)
Distributividade a esquerda da multiplicação com
respeito a adição "x,y,zÎA,
x × (y + z) = (x × y)
+ (x × z)
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ANEL
DE DIVISÃO
O mesmo que anel com divisão.
Um anel de divisão é um anel com unidade (A,
+, ×) no qual todo elemento não nulo admite simétrico em A
com respeito a multiplicação. [mais]
Um conjunto A munido de uma adição +
e uma multiplicação × será um anel de divisão caso
satisfaça os seguintes axiomas:
ANEL
DE DIVISÃO (A, +, ×)
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ADIÇÃO
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MULTIPLICAÇÃO
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| S1)
Associatividade (da adição): "x,y,z
Î A, (x + y) + z
= x + (y + z)
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P1)
Associatividade "x,y,z Î A
(x × y) × z = x ×
(y × z)
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| S2)
Existência de elemento neutro: $0ÎA,
"xÎA, x + 0 = 0 + x = x
|
P2)
Existência de elemento neutro $1ÎA,
"xÎA, 1 × x = x × 1 = x
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| S3)
Existência do elemento simétrico: "xÎA,
$(-x)ÎA, x + (-x) = (- x)
+ x = 0
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P3)
Existência de elemento inverso "xÎA\{0}, $x-1ÎA,
x × x-1 = x-1
× x = 1
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| S4)
Comutatividade: "x,yÎA, x + y = y
+ x
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ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
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| DD)
Distributividade da multiplicação a direita da adição "x,
y, z Î A, (x
+ y) × z = (x × z)
+ (y × z)
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| DE)
Distributividade da multiplicação a esquerda da
adição "x, y, z Î A,
x × (y + z) = (x × y)
+ (x × z)
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ANEL COMUTATIVO COM UNIDADE
Um anel comutativo com unidade é um anel
(associativo) que é anel comutativo e é anel com unidade. Um
anel comutativo com unidade pode ser definido como um anel (A, +, ×)
em que (A, +) é grupo abeliano e (A, ×)
é monóide. Um anel (A, +, ×) é um anel comutativo
com unidade caso cumpram-se as seguintes condições:
ANEL
COMUTATIVO COM UNIDADE (A, +, × )
|
ADIÇÃO
|
MULTIPLICAÇÃO
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| S1)
Associatividade (da adição): "x,y,z
Î A, (x + y) + z
= x + (y + z)
|
P1)
Associatividade "x,y,z Î A,
(x × y) × z = x ×
(y × z)
|
| S2)
Existência de elemento neutro: $0ÎA,
"xÎA, x + 0 = 0 + x = x
|
P2)
Existência de elemento neutro $1ÎA,
"xÎA, 1 × x = x × 1 = x
|
| S3)
Existência do elemento simétrico: "xÎA,
$(-x)ÎA, x + (-x) = (-x)
+ x = 0
|
P3)
Existência de elemento inverso "xÎA\{0}, $x-1ÎA,
x × x-1 = x-1
× x = 1
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| S4)
Comutatividade: "x,yÎA, x
+ y = y + x
|
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ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
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| DD)
Distributividade da multiplicação a direita da adição "x,
y, z Î A, (x + y) × z
= (x × z) + (y × z)
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| DE)
Distributividade da multiplicação a esquerda da
adição "x, y, z Î A,
x × (y + z) = (x × y)
+ (x × z)
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DOMÍNIO DE
INTEGRIDADE
O mesmo que domínio ou anel de
integridade.
Um domínio de integridade,
ou simplesmente domínio, é um anel comutativo com
unidade no qual o produto de dois elementos não nulos é não
nulo. Note que dizer que o produto de dois elementos quaisquer
não nulos é não nulo, é o mesmo que afirmar que se um produto
qualquer é nulo então pelo menos um dos fatores é nulo.
Um conjunto D munido de uma adição + e uma
multiplicação × é um domínio caso cumpram-se as
condições seguintes:
DOMÍNIO
DE INTEGRIDADE (D, +, ×)
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ADIÇÃO
|
MULTIPLICAÇÃO
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| S1)
Associatividade (da adição): "x, y,
z Î D, (x + y) + z
= x + (y + z)
|
P1)
Associatividade "x, y, z Î D,
(x × y) × z = x ×
(y × z)
|
| S2)
Existência de elemento neutro: $0ÎD,
"xÎD, x + 0 = 0 + x = x
|
P2)
Existência de elemento neutro $1ÎD,
"xÎD, 1 × x = x × 1 = x
|
| S3)
Existência do elemento simétrico: "xÎD,
$(-x)ÎD, x + (- x) = (- x)
+ x = 0
|
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| S4)
Comutatividade: "x,yÎD, x
+ y = y + x
|
P4)
Comutatividade "x,yÎD, x
× y = y × x
|
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P5)
Integridade "x,y Î D, x
× y = 0 à x = 0 ou y = 0
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ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
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| DD)
Distributividade da multiplicação a direita da adição "x,
y, z Î A, (x
+ y) × z = (x × z)
+ (y × z)
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| DE)
Distributividade da multiplicação a esquerda da
adição "x, y, z Î A,
x × (y + z) = (x × y)
+ (x × z)
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Veja também: Estrutura
Algébrica, Corpo, Anel de Divisão,
Domínio de Integridade
Referências:
I. N. Herstein. Tópicos de Álgebra.
São Paulo: Polígono, 1970.
Adilson Gonçalves. Introdução à
Àlgebra. 3. ed. Rio de Janeiro: Instituto de
Matemática Pura e Aplicada, 1979.
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