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CONJUNTO

Tópicos:

CONCEITO DE CONJUNTO

O conjunto é um conceito fundamental em todos os ramos da Matemática. Intuitivamente, um conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos bem definidos. Os objetos em um conjunto podem ser qualquer entidade abstrata: números, variáveis, equações, operações, algoritmos, sentenças, nomes, etc. Esses objetos são chamados elementos ou membros de um conjunto.

Exemplos:

O conjunto cujos elementos são os números 1, 4, 9, 16 e 25
O conjunto das soluções da equação x² – 5x + 6 = 0
O conjunto dos números inteiros, ... - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...
O conjunto das potências inteiras de 2 que são 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Geralmente denotamos os conjuntos por letras maiúsculas: A, B, C, X, Y, ... e os elementos de um conjunto por letras minúsculas: a, b, c, x, y, ...

ELEMENTO DE UM CONJUNTO

Os elementos de um conjunto são os objetos que estão no conjunto. Por exemplo, um advogado é um elemento do conjunto de todas as pessoas, mas uma cadeira não é. O elemento de um conjunto também é chamado de membro desse conjunto.

DESCREVENDO UM CONJUNTO POR EXTENSÃO (OU ENUMERAÇÃO)

Um conjunto pode ser descrito por extensão (enumeração) quando escrevemos todos os elementos do conjunto entre chaves e separados por vírgulas ou ponto e vírgulas:

P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

P = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18}

Desse modo sabemos que 6 está no conjunto P (6 pertence ao conjunto P), mas 11 não.

Quando um conjunto tem muitos elementos podemos representa-lo usando reticências e apenas alguns de seus elementos, se estiver claro quais elementos pertencem ao conjunto e quais não pertencem. Exemplo:

A = {1, 3, 5, 7, ... 997, 999}

Nesse caso A é o conjunto dos números naturais ímpares menores que 1000. Como 701 é um número natural ímpar e menor que 1000, então 701 está em A. As reticências indicam a repetição de um padrão reconhecível. Os números 1, 3, 5, 7 são os primeiros naturais ímpares. As reticências indicam os naturais ímpares que os sucedem.

Podemos indicar um conjunto com infinitos elementos escrevendo seus primeiros elementos (que formam um padrão reconhecível) entre chaves separados por vírgulas e com reticências. O conjunto I de todos os números naturais ímpares será representado por:

I = {1, 3, 5, 7, ...}

O conjunto de todos os quadrados dos números inteiros positivos será:

{1, 4, 9, 16, 25, ...}

DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Podemos representar conjuntos por diagramas de Venn-Euler, também conhecidos como diagramas de Venn, consistindo de curvas simples planas fechadas. No interior de tais diagramas representamos os elementos, e do lado de fora indicamos os nomes dos conjuntos. Exemplo: representemos o conjunto A dos números primos menores que 15 usando o diagrama de Venn:

REPRESENTANDO UM CONJUNTO POR ABSTRAÇÃO (COMPREENSÃO)

Podemos também representar um conjunto por abstração (compreensão) quando seus elementos são conhecidos através de uma propriedade comum a eles. Nesse caso denota-se o conjunto por:

{x : p(x)} ou por {x | p(x)}

onde x é uma variável qualquer (poderia ser y, z, t, a, b, ...) e p(x) é uma propriedade ou qualidade de x. Ora, p(x) pode ser verdadeira ou falsa. Se p(x) é a propriedade "x é maior que 10", então p(2) é falsa (pois 2 não é maior que 10) e p(129) é verdadeira, pois 129 é maior que 10. O conjunto {x : p(x)} tem por elementos apenas aqueles que tornem a propriedade p verdadeira. Por exemplo:

Q = {x : x Î N, x é número par e x < 19}

O conjunto Q acima é o conjunto dos elementos que são números naturais, pares e menores que 19. Note que sendo P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}, então P = Q, visto que dois conjuntos são iguais quando tem os mesmos elementos.

O conjunto P foi descrito por extensão (ou enumeração), enquanto o conjunto Q foi descrito por abstração (ou compreensão). Mas seus elementos são exatamente os mesmos.

PERTINÊNCIA

Se um objeto x é membro de um conjunto B, isto é, se x está em B como um de seus elementos dizemos que "x pertence a B" ou "x está em B", e indicamos isso pela seguinte notação:

x Î B

(le-se "x pertence a B" ou "x está em B")

Intuitivamente podemos dizer:

Um quadrado pertence ao conjunto dos polígonos;
A Terra pertence ao conjunto dos planetas de nosso sistema solar;
O número 7 pertence ao conjunto dos números naturais ímpares;
O Brasil pertence ao conjunto de todos os países;
Niterói, Porto Alegre e Belo Horizonte pertencem ao conjunto das cidades do Brasil;

Se um objeto x não é membro de um conjunto B, isto é, se x não pertence a B, indicamos isso pela notação:

x Ï B

(lê-se "x não pertence a B" ou "x não está em B")

Se A = {a, e, i, o, u} temos a Î A; o Î A; b Ï A; h Ï A, etc.

Além disso, podemos dizer que:

Os elementos que pertencem ao conjunto {2, 4, 8, 1} são exatamente os números 2, 4, 8, 1.

O único elemento do conjunto {7, 7, 7} é o número 7.

Os dois únicos elementos do conjunto {0, 1, 0, 1, 0} são 0 e 1

NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO

CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO

O número de elementos de um conjunto é o número de diferentes elementos de um conjunto. Se um conjunto A tem exatamente 7 elementos distintos, dizemos isso usando uma das seguintes notações:

n(A) = 7

#A = 7

Exemplos:

Se S = conjunto dos dias da semana, então n(S) = 7 (ou seja, #S = 7);

Se U é um conjunto unitário, então #U = 1 = n(U);

Temos n(Æ) = 0 = #Æ , pois o conjunto vazio tem zero elementos distintos;

Se J = conjunto dos dias de janeiro, então n(J) = 31 (= #J), pois janeiro tem 31 dias.

Se M = {x Î N : 4 < x < 9}, então #M = 4 (ou n(M) = 4) pois na verdade M = {5, 6, 7, 8} tem exatamente 4 elementos diferentes

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Intuitivamente um conjunto é finito se consiste de um número específico de elementos diferentes, isto é, se ao contarmos os diferentes membros do conjunto em questão, o processo de contagem chega a um final. Caso contrario o conjunto é infinito. Um conjunto F é finito se não existe uma bijeção entre F e um subconjunto próprio de F. Se existir uma bijeção entre F e um subconjunto próprio de F então o conjunto F é infinito. Por exemplo, o conjunto 2Z dos inteiros pares é subconjunto próprio do conjunto Z dos números inteiros e Z é infinito pois existe uma função bijetora f : Z -> 2Z , por exemplo f(n) = 2n. Se Z fosse um conjunto finito não poderia haver tal bijeção.

Exemplos:

Seja S o conjunto dos dias da semana. Como S tem 7 elementos, S é finito;

Seja J o conjunto dos dias do mês de janeiro, como n(J) = 31, então J é finito;

O conjunto N = {0, 1, 2, 3, 4, ... } dos números naturais é infinito;

O conjunto P = {0; 2; 4; 6; 8; ... } dos números naturais pares é infinito;

O conjunto D dos dias de um ano bissexto é finito, pois #D = n(D) = 366;

O conjunto R = {x : x é um rio da Terra} (conjunto dos rios da Terra) é finito. Mesmo sendo difícil contar o número de rios da Terra, ainda assim R é um conjunto finito;

O conjunto de grãos de areia em uma praia é finito, pois mesmo sendo eles em grande quantidade, e difíceis de serem contados, não podem ser em número infinito, pois ocupam uma porção finita de espaço.

IGUALDADE DE CONJUNTOS

Dois conjuntos A e B são iguais quando tem os mesmos elementos. Isto é, quando todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence a A. Este modo de verificar se dois conjuntos são iguais chama-se princípio da extensão. Este princípio estabelece, por exemplo, as seguintes igualdades entre conjuntos:

Se A = {1; 2; 3; 4} e B = {3; 1; 4; 2} então A = B, isto é {1; 2; 3; 4} = {3; 1; 4; 2} pois cada um dos elementos 1, 2, 3 e 4, de A, pertence a B e cada um dos elementos 3, 1, 4 e 2 de B pertence ao conjunto A. Note, portanto, que um conjunto não muda de ordenamos seus elementos de modo diferente.

Se C = {5; 6; 5; 7} e D = {7; 5; 7; 6} então C = D, isto é, {5; 6; 5; 7} = {7; 5; 7; 6} pois cada elemento de C pertence a D e cada elemento de D pertence a C. Note que um conjunto não se altera quando seus elementos são repetidos. Assim, também temos {5, 6, 7} = C = D.

{7, 7, 7, 7} = {7}

{0, 1, 1, 0, 1} = {0, 1} = {1, 0}

{1, 2, 3} = {2, 1, 3} = {3, 2, 1}

Pelos exemplos acima vemos que quando representamos um conjunto é desnecessário escrever um mesmo elemento várias vezes: ou um elemento pertence ou não pertence a um conjunto. Além disso vemos que não importa a ordem em que aparecem os elementos em um conjunto.

CONJUNTO UNITÁRIO

Um conjunto é dito conjunto unitário quando tem um único elemento

Exemplos: {5}, {a}, {Paula} {x Î R : x ³ 3 e x £ 3} são conjuntos unitários.

CONJUNTO VAZIO (OU CONJUNTO NULO)

Um conjunto é dito conjunto vazio (ou nulo) quando não possui elementos. Tal conjunto é representado por Æ ou menos freqüentemente por { }. Exemplos de conjuntos vazios:

A = {x Î N | x < 0}

B = conjunto das pessoas que medem mais de 5 metros de altura

C = {x : x ¹ x}

D = conjunto das notas verdadeiras de R$ 15, 00

E = {x Î Z : 7 < x < 8}

Nesse caso A = B = C = D = E = Æ .

CONJUNTO NÃO VAZIO

Todo conjunto que tem pelo menos um elemento é chamado conjunto não vazio. Todo conjunto diferente do conjunto vazio é um conjunto não vazio.

SUBCONJUNTOS

CONCEITO

Sejam A e B conjuntos quaisquer. Se cada elemento do conjunto A é também elemento do conjunto B, dizemos que "A é um subconjunto de B" ou que "A está contido em B". Para dizer graficamente e de modo rápido que "A está contido em B", usamos a seguinte notação:

A Ì B

(lê-se "A está contido em B" ou "A é subconjunto de B")

Se P e Q são conjuntos, então P não é subconjunto de Q quando existe algum elemento de P que não está em Q. Caso contrario P é subconjunto de Q.

DEFINIÇÃO

De modo mais rigoroso definimos A Ì B como "x(x Î A à x Î B)

[veja Lógica]

Exemplos:

O conjunto A = {1; 2} é subconjunto de B = {1; 2; 3}, pois cada elemento de A é também elemento de B. Nesse caso podemos escrever A Ì B;
O conjunto C = {a; b; c; d} é subconjunto de D = {a; 1; b; 2; d; c}, isto é, C Ì D, pois todos elementos de C, a saber, a, b, c, d estão em D;
O conjunto dos advogados está contido no conjunto dos seres humanos, pois todo advogado é ser humano;
O conjunto dos cães está contido no conjunto dos animais, pois não existe um cão que não seja um animal.
O conjunto vazio Ø é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo

O conjunto vazio Ø é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo, porque não existe um elemento em Ø que não esteja em qualquer outro conjunto. De outro modo: "todos" os elementos de Ø (isto é, nenhum elemento) pertencem a qualquer outro conjunto. Simbolicamente temos que

"x(x Î Ø à x Î B) é sempre verdade, para todo conjunto B.

Se A e B são conjuntos, indicamos que A não é subconjunto de B, isto é, que A não está contido em B, pela seguinte notação:

A Ë B

(lê-se "A não é subconjunto de B" ou "A não está contido em B")

Exemplos:

O conjunto A = {1, 2, 3} não está contido em B = {2, 3, 4}, pois existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B, a saber o 1 (1 Î A mas 1 Ï B). Nesse caso podemos escrever A Ë B.
O conjunto E dos estudantes universitários não está contido no conjunto M das pessoas com menos de 25 anos, pois existem estudantes universitários com que não tem menos de 25 anos. (Digamos, Eric Î E, mas Eric Ï M). Daí E Ë M. Por outro lado, como existem elementos em M que não estão em E, isto é, pessoas com menos de 25 anos que não são estudantes universitárias, podemos afirmar também que M não é subconjunto de E, e escrevemos M Ë E.
O conjunto A de todos animais não está contido no conjunto T de todos tamanduás, pois existem animais que não são tamaduás, isto é, existem elementos de A que não pertencem a T. Por exemplo: macaco Î A (macaco é animal), mas macaco Ï T (macaco não é tamanduá). Logo A Ë T. Por outro lado, todos tamanduás são animais, portanto T Ì A.

Se A é um subconjunto de B, isto é, se A Ì B, dizemos também que "B contém A" ou que "B é superconjunto de A" e denotamos por:

B É A

(lê-se "B contém A" ou "B é superconjunto de A")

Nota: A abertura dos sinais Ì de "está contido" e É de "contém" estão sempre voltadas para o conjunto "maior", como se fosse a boca aberta de alguém espantado com a "grandeza" do conjunto (regra mnemônica).

OBSERVAÇÕES

O conjunto vazio Æ é subconjunto de qualquer conjunto A, pois não existe um elemento em Æ que não esteja em A;
Todo conjunto é subconjunto dele mesmo;
Todo conjunto é superconjunto dele mesmo.

SUPERCONJUNTO

Dizermos que A é superconjunto de B quando A contém B, isto é, quando B é subconjunto de A. Simbolicamente:

A é superconjunto de B Û A É B

TEOREMA

CARACTERIZAÇÃO DOS CONJUNTOS IGUAIS

Dois conjuntos A e B são iguais, isto é, A = B, se, e somente se A Ì B e B Ì A.

[Demonstração]

SUBCONJUNTO PRÓPRIO

Se B é subconjunto de A, e B é diferente de A, dizemos que B é subconjunto próprio de A. Isto é, dizemos que B é subconjunto próprio de A quando:

B Ì A e B ¹ A

Em alguns livros, "B é subconjunto de A" é representado por

B Í A

e "B é um subconjunto próprio de A" é representado por

B Ì A

Evitaremos usar aqui esta última notação.

COMPARABILIDADE

Dizemos que dois conjuntos A e B são comparáveis quando

A Ì B ou B É A (ou ambos)

isto é dois conjuntos são comparáveis se um é subconjunto do outro.

Dizemos que dois conjuntos não são comparáveis (ou são não comparáveis) quando nem A Ì B, nem B É A, isto é

A Ë B e B Ë A

Exemplos:

O conjunto dos advogados e o conjunto das pessoas são comparáveis entre si, pois o primeiro está contido no segundo;
O conjunto dos animais e o conjunto dos cães são comparáveis entre si, pois o segundo está contido no primeiro;
Os conjuntos {2, 1, 3} e {1, 2, 3, 5} são comparáveis, pois o primeiro está contido no segundo;
Os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {1, 2, 3} não são comparáveis entre si, pois nem A contém B, nem B contém A.

TEOREMA

TRANSITIVIDADE DA RELAÇÃO DE ESTAR CONTIDO

Se A é subconjunto de B e B é subconjunto de C, então A é subconjunto de C, isto é:

A Ì B e B Ì C acarreta que A Ì C

Ou em linguagem mais formal

A Ì B e B Ì C à A Ì C

[Demonstração]

EXEMPLOS

Se o conjunto P dos professores da rede pública está contido no conjunto F dos funcionários públicos, isto é P Ì F (pois todo professor da rede pública é funcionário público) e se o conjunto F dos funcionários públicos está contido no conjunto T dos trabalhadores, isto é, F Ì T (pois todo funcionário público é um trabalhador) então o conjunto P dos professores da rede pública está contido no conjunto T dos trabalhadores, isto é, P Ì T. A representação no diagrama de Venn é a seguinte:

Vemos que se P Ì F e F Ì T, então P Ì T

CONJUNTOS DE CONJUNTOS

Os elementos de um conjunto podem ser, eles próprios, conjuntos. Se todos os elementos de um conjunto A são eles mesmos conjuntos, então dizemos que A é uma "classe de conjuntos", "coleção de conjuntos" ou "conjunto de conjuntos".

EXEMPLOS

A = { {1}, {1; 2}, {1; 2; 3} }. Os elementos de A são {1}, {1; 2} e {1; 2; 3} e apenas estes. Logo, {1} Î A, mas 1 Ï A pois {1} é elemento de A, enquanto 1 não é elemento de A; {1; 2} Î A, mas 2 Ï A, pois {1, 2} é elemento de A, mas 2 não é elemento de A.
Se B = classe dos bancários, P = classe dos professores e C = conjunto das classes de trabalhadores, então B Î C e P Î C. Se João é bancário e José é professor, então João Î B e José Î P, mas João Ï C e José Ï C, pois João e José não são classes de trabalhadores, mas sim trabalhadores. O conjunto C das classes de trabalhadores é diferente do conjunto T dos trabalhadores, pois enquanto neste os elementos são trabalhadores, naquele (conjunto C) os elementos são classes de trabalhadores. Como os elementos de C e T não são os mesmos, concluímos que C ¹ T.
O conjunto A = {1, {1; 2}, Æ , {3}} é um conjunto cujos elementos são 1, {1; 2}, Æ , {3} e apenas estes. Portanto 1 Î A, {1; 2} Î A, Æ Î A e {3} Î A, mas 2 Ï A e 3 Ï A.

CONJUNTO UNIVERSO

Em qualquer aplicação da Teoria dos Conjuntos, o conjunto de todos objetos considerados num determinado estudo é chamado conjunto universal, universo de estudo, ou conjunto universo. Designamos este conjunto por U. Exemplos:

Nos estudos da população humana, o conjunto universo é constituído de todos os habitantes da Terra;
Em Teoria dos Números o universo de estudo (conjunto universo) é constituído pelos números;
Em Português o conjunto universal (universo de estudo) é constituído pelos vocábulos da Língua Portuguesa, orações, frases, etc.
Em Astronomia o conjunto universo é constituído pelos corpos estelares tais como planetas, satélites, estrelas, galáxias, buracos negros, estrelas de nêutrons, quasars, etc.

CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO

(CONJUNTO DE POTÊNCIA OU CONJUNTO POTÊNCIA)

A classe de todos os subconjuntos de qualquer conjunto S é chamada o conjunto das partes de S, ou o conjunto de potência de S. Designamos o conjunto de potência de S por

2^S

ou por

P(S)

Exemplos:

Se S = {a, b} temos 2^S = P(S) = { Æ , {a}, {b}, {a, b} }
Se T = {1, 2, 3} temos

2^T = P(T) = {Æ , {1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}, T}

Se S é um conjunto finito e n(S) = k, o conjunto de potência de S terá 2^k elementos. Esta é uma das razões pela qual o conjunto das partes de S é chamado de conjunto de potência de S e designado por 2^S.

Para todo conjunto finito C temos:

#2^C = 2^#C

CONJUNTOS DISJUNTOS

Se os conjuntos A e B não possuem elemento em comum, isto é, se não há nenhum elemento de A em B, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Se A e B não são conjuntos disjuntos dizemos que eles se interceptam. Exemplos:

Se A = {1; 3; 5; 7} e B = {2, 4, 6, 8}, então A e B são disjuntos;
Se C = {1; 2; 3; 4} e D = {4; 5; 6}, então C e D não são disjuntos, pois 4 é elemento comum de C e D, isto é 4 Î C e 4 Î D;
Se P é o conjunto dos números positivos e Q é o conjunto dos números negativos, então P e Q são disjuntos pois não há um elemento comum aos conjuntos P e Q pois não existe um número que seja simultaneamente positivo e negativo (o zero é um número que não é nem positivo nem negativo).

DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Podemos representar conjuntos por diagramas de Venn-Euler, também conhecidos como diagramas de Venn, consistindo de curvas simples planas fechadas. No interior de tais diagramas representamos os elementos, e do lado de fora indicamos os nomes dos conjuntos. Exemplo: representemos o conjunto A dos números primos menores que 15 usando o diagrama de Venn:

A disposição dos diagramas de Venn pode ser um pouco diferente, conforme o problema que queiramos resolver. Assim, muitas vezes não precisamos dar nomes a cada um dos elementos dos conjuntos que desejamos representar. Podemos nesse caso indicar os nomes dos conjuntos no interior dos diagramas, mas sem permitir ambigüidades. Exemplos:

Se B é subconjunto próprio de A, então podemos representar A e B pelos diagramas:

Se A e B são disjuntos representamos assim:

Representamos dois conjuntos A e B não são comparáveis e não disjuntos por:

Se A = {a, b, c, d} e B = {c, d, e, f} então podemos ilustrar esses conjuntos usando um diagrama de Venn do seguinte modo:

DIAGRAMAS DE LINHA

Um modo prático e instrutivo de ilustrar as relações entre conjuntos é por meio dos chamados diagramas de linha. Se A Ì B, escrevemos B em nível mais alto que A, ligando-os por uma linha, assim:

Se A Ì B e B Ì C, escrevemos:

Exemplos

Se A = {a}, B = {b} e C = {a, b}, o diagrama de linha para A, B e C é:

Note que como A e B são não comparáveis eles não estão ligados por linhas.

Se X = {x}, Y = {x, y}, Z = {x, y, z}, W = {x, y, w} então o diagrama de linha é:

Note que como Z e W são não comparáveis, não há uma linha ligando-os.

Dado o seguinte diagrama de linhas:

Podemos dizer, por exemplo, que F Ì E, E Ì C, F Ì C, G Ì B, F Ì B, E e G são não comparáveis, C e D são não comparáveis, C e G são não comparáveis, pois não existe um caminho de linhas ligando C e G que só suba ou só desça. Além disso, E e D são não comparáveis pelo mesmo motivo, A e G idem.

CONCEITOS PRIMITIVOS

Os conceitos primitivos de uma teoria são conceitos que não se definem. Os conceitos primitivos da Teoria dos Conjuntos são:

Conjunto

Elemento

Relação de pertinência

A partir desses conceitos e de um número finito de axiomas, podemos construir uma teoria de conjuntos.

UNIÃO

CONCEITO

A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos.

NOTAÇÃO

Denotamos a união de A e B por

A È B

(lê-se "A união B")

Alguns livros designam a união dos conjuntos A e B por

A + B

EXEMPLOS

No diagrama de Venn abaixo, sombreamos A È B.
A È B está sombreado
Se S = {a, b, c, d} e T = {c, d, e, f, g} então S È T = {a, b, c, d, e, f, g}
Se M é o conjunto das mulheres e H é o conjunto dos homens então M È H = P é o conjunto das pessoas.

Uma definição simbólica para união de dois conjuntos é:

A È B = {x : x Î A ou x Î B}

OBSERVAÇÕES

A operação de união é comutativa, isto é, para quaisquer conjuntos A e B vale A È B = B È A.
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, eles são sempre subconjuntos de A È B. De outro modo: A È B é superconjunto tanto de A quanto de B.

INTERSEÇÃO

CONCEITO

A interseção das classes A e B é o conjunto dos elementos que são comuns a A e B, isto é, a interseção dos conjuntos A e B é a coleção dos elementos que pertencem a A e também pertencem a B.

NOTAÇÃO

Denotamos a interseção de A e B por

A Ç B

(lê-se "A interseção B")

Alguns livros designam a interseção de A e B por

EXEMPLOS

(1) No diagrama seguinte sombreamos a região de A Ç B

A Ç B está sombreado

(2) Se S = {a, b, c, d} e T = {c, d, e} então S Ç T = {c, d}

Se A é o conjunto das pessoas formadas em advocacia e E é o conjunto dos escritores, então A Ç E é o conjunto dos escritores formados em advocacia.

OBSERVAÇÕES

A operação de interseção é comutativa, isto é, quaisquer que sejam os conjuntos A e B, vale A Ç B = B Ç A.
Cada um dos conjuntos A e B contém A Ç B, isto é, A Ç B é subconjunto tanto de A quanto de B. Isto pode ser escrito assim: (A Ç B) Ì A e (A Ç B) Ì B.
Se A e B são disjuntos, então A Ç B = Æ .

UNIÃO E INTERSEÇÃO DE FAMÍLIAS DE CONJUNTOS

Seja I um conjunto não vazio qualquer. Uma família de conjuntos indexada por I é uma coleção de conjuntos A_i com i Î I. Uma tal família é denotada por (A_i)_i_Î_I. A união dos elementos da família é

e a sua interseção é

OBSERVAÇÃO

É claro que para todo j Î I, temos que

DIFERENÇA DE CONJUNTOS

CONCEITO

A diferença dos conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B.

NOTAÇÃO

Indicamos a diferença dos conjuntos A e B por

A - B

(lê-se "A menos B")

ou por

A\B

EXEMPLOS

No diagrama de Venn a seguir, sombreamos a região referente a A - B, a superfície de A que não está sobre B.

Se S = {a, b, c, d} e T = {c, d, e, f, g} então S - T = {a, b} e T - S = {e, f, g}

Se A = {1; 2; 3; 4; ... } e B = {4; 5; 6; 7; 8; ... } então A - B = {1; 2; 3} e B - A = Æ .

DEFINIÇÃO

A diferença entre os conjuntos A e B é definida por

A - B = {x | x Î A e x Ï B}

OBSERVAÇÕES

O conjunto A - B é subconjunto de A, isto é, A - B Ì A;

Os conjuntos A - B, A Ç B e B - A são dois a dois disjuntos;

A - B e B são disjuntos.

COMPLEMENTO (OU COMPLEMENTAR)

CONCEITO E NOTAÇÃO

Dados dois conjuntos A e B, se B Ì A então a diferença de A e B, isto é, A - B, recebe o nome de complemento (ou complementar) de B em relação a A e tal diferença é representada por C_AB ou por C_AB .

Se B Ì A então C_AB = C_AB = A - B

C_AB é chamado "complementar de B com relação a A"

Também denotamos o "complementar de B com relação a A" por C_AB

Nesse caso, o conjunto A em relação ao qual se determina o complemento chama-se conjunto referência, ou referencial.

Quando não se indica o conjunto referência subentende-se que o referencial é o conjunto universo U. Neste caso indicamos por B’, C B ou por o complementar de B, que é U - A.

EXEMPLOS

No diagrama de Venn a seguir representamos o complementar de B com relação a A.
Se A = {1; 2; 3; 4; 5} e B = {1; 2; 5}, então C_AB = {3; 4}
Se S = {1; 3; 5; 7; 9} e T = {1; 3; 5; 6}, então não podemos falar no complementar de T com relação a S, pois T Ë S.

DIFERENÇA SIMÉTRICA

CONCEITO

Dados dois conjuntos A e B, a diferença simétrica de A e B é o conjunto dos elementos que ou pertencem a A ou pertencem a B, mas não pertencem a ambos os conjuntos A e B simultaneamente.

NOTAÇÃO

A diferença simétrica dos conjuntos A e B é simbolizada por

A D B

(lê-se "diferença simétrica de A e B" ou "A delta B")

EXEMPLOS

A diferença simétrica de dois conjuntos A e B pode ser ilustrada pelo diagrama seguinte
Se A = {2; 4; 6; 8} e B = {1; 6; 8} então A D B = {1; 2; 4}

Se A = {a, b, c, d} e B = {b, c} então A D B = {a, d}

{x, y} D {z, w} = {x, y, z, w}

DEFININDO DIFERENÇA SIMÉTRICA

Podemos definir a diferença simétrica de dois conjuntos A e B assim:

A D B = (A - B) È (B - A)

ou assim

A D B = (A È B) - (A Ç B)

Veja também: Produto Cartesiano, Relação Binária, Função, Conjunto Aberto

Referências:

Seymour Lipschutz. Teoria dos conjuntos. (Set Theory and Related Topics) Trad. Fernando Vilain Heusi da Silva. McGraw-Hill do Brasil, 1972. (Col. Schaum)

Autor desta página: Eric Campos Bastos Guedes - Niterói - RJ - Brasil

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