CONJUNTO
ABERTO
Tópicos:
Ponto interior
(em R) | Ponto interior (em Rn) | Interior de um conjunto |
Conjuntos abertos
Ponto
interior (em subconjuntos de números reais)
Dado um conjunto X de números reais,
um ponto x Î X chama-se ponto interior de X quando
x Î (a, b) Í X. Exemplos:
- Todos os pontos de um intervalo aberto (p,
q) são pontos interiores do intervalo (p,
q).
- No intervalo fechado [p, q]
não existe um intervalo aberto contido em [p, q]
ao qual pertença p, logo, p não é
ponto interior do intervalo [p, q]. O
mesmo se diz para q.
- Dado o conjunto A = {0, 1, 2} de
números reais, nenhum dos elementos de A é
ponto interior de A, pois nenhum intervalo
aberto está contido em A.
- Seja o conjunto B = [1, 2] È (4, 5]
(veja união). O conjunto dos pontos que não são pontos
interiores de B é {1, 2, 5}. O conjunto dos
pontos interiores de B é (1, 2) È (4, 5).
Ponto
interior (em subconjuntos de Rn)
Dado X Í Rn
, um ponto a Î X é ponto interior de X quando é
centro de alguma n-bola aberta contida em X.
Exemplos:
- O ponto (0, 0, 0) é ponto interior do
conjunto B = {(x, y, z)Î R3 | x2 + y2 + z2 £ 1}
pois o próprio B é uma n-bola contida
em B contendo o ponto (0, 0, 0).
- O ponto (1, 1) não é ponto interior de r
= {(x, y) Î R2
| x + y = 2}, pois nenhum disco aberto
contendo o ponto (1, 1) esta contido em r.
- Nenhum ponto do conjunto H = {1/n | n
Î N} é interior, pois não
existe um intervalo aberto contido em H.
Interior
de um conjunto
O interior de um conjunto A é o
conjunto dos pontos de A que são pontos interiores de A.
Exemplos:
- O interior de E = {(x, y, z) Î R3
| x2 + y2 + z2
£ 4} é o próprio conjunto E.
- O interior de H = {1/n |
n Î N} é o conjunto vazio.
- O interior de r = {(x, y)
Î R2 | x + y
= 2} é vazio.
- Os interiores de (a, b),
[a, b), (a, b], [a,
b] são iguais a (a, b)
- O interior de um disco fechado D1
em R2 é o disco aberto D2
de mesmo raio e centro.
- O interior de uma n-bola aberta
é ela própria.
Conjuntos
abertos
Um conjunto é aberto quando é igual a seu
interior. Nesse caso ele pode ser chamado simplesmente de aberto.
Exemplos:
- Um intervalo aberto é um aberto
- Todo disco aberto é um conjunto aberto
- Toda n-bola aberta é um aberto
- A união, finita ou infinita, de conjuntos
abertos é um aberto
- A interseção finita de conjuntos abertos
é um conjunto aberto
- A interseção infinita de conjuntos
abertos pode não ser um conjunto aberto. De fato: a
interseção da família infinita de abertos {(- 1- 1/n,
1+1/n)}nÎN
é [-1, 1] que não é um aberto, pois - 1 e 1 não
são pontos interiores de [- 1, 1]
Veja também: Topologia, n-bolas,
intervalos, conjuntos fechados
Referências:
Elon Lages Lima. Espaços Métricos.
3. ed. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e
Aplicada, 1977.
|