CONJUNTOS NUMÉRICOS
Tópicos:
Números Naturais | Adição de Naturais | Axiomas de Peano | Conjunto dos Números Inteiros | Conjunto dos Números Racionais | Conjunto dos Números Reais | Multiplicação de Naturais | Multiplicação em Z | n ésima Iterada de uma Função | Números Naturais | Ordem Usual em Z | Relação de Ordem Usual em N
Conceito. Número natural
O conjunto N dos números naturais é o conjunto dos números inteiros positivos, isto é,
N = {1, 2, 3, 4, ... }
Alguns autores incluem entre os números naturais o número 0 (zero), principalmente no ensino médio e fundamental. Preferimos aqui não fazer isso.
Definição. Conjunto dos números naturais
O conjunto dos números naturais é um conjunto N para o qual existe uma função s : N à N, s(n) chamado o sucessor de n, satisfazendo os 3 seguintes axiomas:
- s: N à N é injetiva, isto é, elementos distintos de N tem sucessores distintos (ou, de outro modo, se dois elementos de N tem o mesmo sucessor então esses dois elementos são iguais);
- Existe um único elemento de N, representado pelo símbolo 1, que não está na imagem de s, isto é, existe um único elemento de N que não é sucessor de nenhum outro elemento de N (simbolicamente escrevemos N - Im(s) = {1});
- (Princípio da indução) Se X é subconjunto de N tal que cumprem-se: 1 Î X e " n (n Î X à s(n) Î X), então X = N. Ou seja, se X Ì N é tal que 1 está em X e tal que s(n) está em X sempre que n está em X, então X = N.
O conjunto N munido de uma tal função s é chamado conjunto dos números naturais.
Seja f : X à X uma função. A cada n Î N podemos associar de modo único uma função f n : XàX de modo que f 1 = f e f s(n) = f o f n, onde s(n) é o sucessor de n. Em particular, chamando s(1) de 2 e s(2) de 3 teremos f 2 = f o f e f 3 = f o f o f.
No conjunto N está definida uma operação de adição do seguinte modo:
" m, n Î N, m + n = s n(m)
onde a notação s n representa a n-ésima iterada de s, isto é s1 = s e ss(n) = s o sn.
Exercícios
Prove
- A adição de elementos de N (números naturais) é associativa
- A adição de elementos de N (números naturais) é comutativa
- Lei do corte: " a, b, c Î N, a + b = a + c à b = c
- Tricotomia: dados m, n em N exatamente uma das 3 alternativas seguintes pode ocorrer: ou m= n, ou existe p Î N tal que m = n + p, ou, então, existe q Î N com n = m + q
RELAÇÃO DE ORDEM USUAL NO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
Definição. Relação usual de ordem entre os números naturais, <
A relação (usual) de ordem no conjunto N é definida em termos da adição. Dados m, n Î N dizemos que m é menor do que n, e escrevemos
m < n
para significar que existe p Î N tal que n = m + p. Dizer que m é menor do que n é o mesmo que dizer n é maior que m e escrever
n > m
A notação m £ n significa que m é menor ou igual a n.
Algumas propriedades da relação < no conjunto N
A relação < em N goza das seguintes propriedades
Transitividade. " a, b, c Î N, a < b e b < c acarreta a < c
Tricotomia." a, b Î N, exatamente uma das 3 alternativas ocorre: ou a = b, ou a < b, ou b < a
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Para cada m Î N, seja f : N à N a função definida por f(p)= p + m isto é, f = sm (f é a função "somar m"). Nesse caso o produto do elemento m de N por outro qualquer é definido por m × 1 = m e por m × (n + 1) = f n(m). Em outras palavras: multiplicar um elemento de N por 1 não o altera e multiplicar m por um elemento de N diferente de 1, isto é, por um elemento da forma s(n) = n + 1 é iterar n vezes a operação unária de somar m, começando com m.
Assim, chamando s(1) de 2, s(2) de 3, s(3) de 4, etc. temos:
m × 2 = f(m) = m + m;
m × 3 = f 2(m) = f o f (m) = (m + m) + m;
m × 4 = f 3(m) = f o f 2(m) = ((m + m) + m) + m;
etc., onde f = sm
Vemos que o produto m × n está definido indutivamente pelas propriedades abaixo:
(1) m × 1 = m
(2) m × s(n) = m × n + m
Seja X o subconjunto de N tal que as propriedades (1) e (2) acima nos possibilitem determinar o produto de m (um elemento genérico de N) por outro natural qualquer. A propriedade (1) nos diz que sabemos multiplicar um natural m por 1, isto é, 1 Î X, e a propriedade (2) nos diz que se sabemos multiplicar m por n (isto é, se n Î X) então sabemos multiplicar m pelo sucessor de n (isto é s(n) Î X). Pelo terceiro axioma de peano, X = N, ou seja, sabemos multiplicar m por qualquer elemento de N. Como m foi tomado genericamente, sabemos multiplicar qualquer par de elementos de N.
Conclusão
Ficou definido um conjunto N munido de uma operação binária chamada adição usual em N que a cada par (a, b) de elementos de N associa um elemento a + b de N, chamado "soma de a e b". O conjunto N ficou munido de uma relação de ordem estrita < e de uma relação de ordem total £ . Foi definido em N uma operação binária chamada multiplicação usual em N que a cada par (a, b) de elementos de N associa um elemento a × b (ou ab) em N chamado "produto de a por b". Tudo isso foi feito sem o uso do conceito de números naturais. O problema de definir o conjunto N dos números naturais foi resolvido sem recorrermos ao próprio N, como não poderia deixar de ser.
Observação
O conjunto dos números naturais é único, a menos de isomorfismos
O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Tendo definido o conjunto N dos números naturais, desejamos agora definir o conjunto Z dos números inteiros. Temos:
Z = N È {0} È - N
onde -N = {-n | n Î N} é o conjunto dos objetos -n, onde n é um número natural.
DEFINIÇÃO DA ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
A adição em Z restrita a elementos de N coincide com a adição em N. Para todo x Î Z definimos:
0 + x = x + 0 = x
Se a, b, c Î N Ì Z e a = b + c definimos
- a + (- b) = (- b) + a = c
- (- a) + b = b + (- a) = - c
- (- a) + (- b) = - (a + b)
Desse modo definimos uma adição em Z, isto é, para todo par (x, y) de elementos de Z está definida sua soma x + y em Z de modo único. Verifica-se que (Z, +) é um grupo abeliano.
Sejam a, b números inteiros. Dizemos que "a é menor que b" e escrevemos a < b para significar que existe um número natural n tal que a + n = b. Dizer "a é menor que b" é o mesmo que dizer que "b é maior que a" e escrever b > a.
Para todo x Î Z definimos 0x = x0 = 0 e para todos a, b Î N definimos:
(- a)b = a(- b) = - (ab) e (- a)(- b) = ab
Assim fica definida a multiplicação em Z a partir da multiplicação em N. Verifica-se que (Z, +, × ) é um anel de integridade (domínio de integridade).
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
O conjunto Q dos números racionais é constituído de elementos da forma a/b onde a e b são números inteiros e b ¹ 0. Temos a/b = c/d se e só se ad = bc. Podemos munir Q de uma adição + e uma multiplicação × do seguinte modo: (a/b) + (c/d) = (ad + bc)/bd e (a/b) × (c/d) = (ac/bd). O simétrico de a/b Î Q é (- a)/b e o inverso do número racional a/b ¹ 0/1 é b/a. Uma subtração - : Q´Q à Q está definida em Q de modo que se x, y Î Q, então x - y = x + (- y). A estrutura (Q, + , × ), isto é, o conjunto Q dos números racionais munido da adição e multiplicação acima definidas é um corpo ordenado. O conjunto dos números racionais positivos é Q+ = {a/b Î Q : ab > 0}. Temos a/b > c/d se, e somente se, (a/b) - (c/d) Î Q+.
O conjunto dos números reais é denotado por R, e trata-se se um corpo (R, +, × ) ordenado completo. O conjunto R dos números reais munido das operações de adição e multiplicação usuais (isto é, (R, +, × )) é o único corpo ordenado completo, no sentido de que qualquer outro corpo ordenado completo dado será necessariamente isomorfo a R. Um corpo ordenado K é completo quando toda sucessão de Cauchy de elementos de K converge para algum elemento de K.
NÚMEROS COMPLEXOS
Os números complexos formam um corpo denotado por (C, +, · ). O conjunto C é formado pelos pares ordenados (x, y) ÎR2 onde definimos:
Igualdade: (x, y) = (u, v) se e somente se x = u e y = v
Adição: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v)
Multiplicação: (x, y) × (u, v) = (xu - yv, xv + yu)
Definição. O conjugado do
número complexo z = (x, y) é
= (x, -y)
O simétrico do número complexo (a, b) com respeito à adição é (-a, -b) e com respeito ao produto é :
Referências:
LIMA, Elon Lages. Análise Real, volume 1. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1989.
LANG, Serge. Estruturas Algébricas. (Algebraic Structures) Trad. Cláudio Renato Wember Abramo. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1972.