Corpo

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CORPO

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CONCEITO E DEFINIÇÃO DE CORPO

Um corpo é uma estrutura algébrica. Um corpo é um conjunto munido de duas operações, que podemos denotar pelos sinais "+" e "·" (respectivamente adição e multiplicação, possivelmente não as usuais). A multiplicação é também indicada pela simples justaposição dos fatores ou pelo sinal "×". Assim, a.b pode ser escrito como ab ou a×b. Se um conjunto não vazio K é munido de uma adição "+" e uma multiplicação "·", a estrutura algébrica correspondente é denotada pela terna ordenada (K, +, ·).

Se uma estrutura algébrica é denotada pela terna ordenada (K, +, ·) e são satisfeitos os axiomas de corpo para a adição "+"e a multiplicação "·", então a estrutura algébrica (K, +, ·) é um corpo. Os axiomas de corpo são os seguintes:

AXIOMAS DE CORPO

Adição	Multiplicação
Comutatividade: " a, b Î K, a + b = b + a	Comutatividade: " a, b Î K, ab = ba
Associatividade: "a,b,c Î K, a + (b + c) = (a + b) + c	Associatividade: " a, b, c Î K, a(bc) = (ab)c
Elemento neutro: "a Î K, $ 0_K Î K, a + 0_K = 0_K+ a = a	Elemento neutro: " a Î K, $ 1_K Î K, a·1_K = 1_K·a = a
Existência do elemento simétrico: "a Î K, $ -a Î K, a + (-a) = (-a) + a = 0_K	Existência do elemento simétrico: " a Î K- {0_K}, $ a^-1ÎK, a·a^-1=a^-1·a=1_K
Distributividade da multiplicação a esquerda com respeito a adição: " a, b, c Î K, a·(b + c) = a·b + a·c
Distributividade da multiplicação a direita com respeito a adição: " a,b,c Î K, (a + b).c = a.c + b.c

EXEMPLOS DE CORPOS

Os seguintes conjuntos munidos da adição e produto usuais são corpos:

O conjunto dos números reais R

O conjunto dos números racionais Q

O conjunto dos inteiros módulo p, Z/pZ,onde p é um número primo

O conjunto dos números complexos C

Corpos ordenados

Um corpo (K, +, × ) é ordenado quando contém um subconjunto P, chamado subconjunto dos positivos de K que cumpre as propriedades P1 e P2 seguintes:

P1) Tricotomia:

Dado x Î K qualquer, ou x é positivo, ou - x é positivo ou x = 0_K, sendo que cada uma destas 3 possibilidades exclui as duas outras. De outro modo: " x Î K, exatamente uma entre as 3 possibilidades (mutuamente exclusivas) é verdadeira: ou x Î P, ou x = 0_K, ou -x Î P

P2) Fechamento da adição e da multiplicação em P:

A soma e o produto de positivos são positivos, isto é,

" x, y Î P Ì K, x + y Î P e xy Î P.

EXEMPLOS DE CORPOS ORDENADOS

Um exemplo de corpo ordenado é o conjunto dos racionais munido das operações usuais de adição e multiplicação, isto é, (Q, +, × )

O conjunto Q(x) das funções racionais r(x) = p(x)/q(x), onde p e q são polinômios com coeficientes racionais, sendo q não identicamente nulo, é um corpo ordenado com as operações usuais de adição e produto de funções racionais (frações algébricas). Basta que os positivos de Q(x) sejam os elementos p(x)/q(x) Î Q(x) tais que o quociente entre os termos de mais alto grau de p(x) e q(x) seja um racional positivo. Nesse caso (5x² - 1)/(7x³ + 2x) é positivo pois 5/7 é racional positivo. Também - 6/(- x- 1) é positivo, pois (- 6)/(- 1) é positivo. Porém (2x² – 5x + 1)/(- 3x +7) é negativo pois 2/(- 3) é racional negativo.

O conjunto Z dos números inteiros não é um corpo, pois nem todo elemento tem inverso multiplicativo. Isto é, nem todo elemento não nulo de Z tem simétrico com respeito a multiplicação em Z (por exemplo, o inverso multiplicativo de 2 Î Z não pertence ao conjunto Z)

Corpos ordenados completos

Definição. Um corpo K é ordenado e completo se é ordenado e se qualquer subconjunto de K, limitado superiormente, possuir supremo em K.

Teorema. Um corpo ordenado K é completo se e só se qualquer subconjunto limitado inferiormente de elementos de K possuir ínfimo em K.

Exemplo 1. O conjunto dos números reais munido das operações usuais de adição e multiplicação, isto é, (R, +, × ) é um exemplo de corpo ordenado completo. Este é o único corpo ordenado completo a menos de isomorfismos.

Exemplo 2. O conjunto dos números racionais munido das operações usuais de adição e multiplicação, isto é, (Q, +, ×) não é um corpo ordenado completo, pois apesar de ser um corpo ordenado, ele não é completo, visto que, por exemplo, o conjunto {x Î Q : x < 2^1/2 } é limitado superiormente mas seu supremo (raiz quadrada de 2) não pertence a Q.

Teorema. Critério de Cauchy. Um corpo ordenado K é completo quando toda sucessão de Cauchy de elementos de K converge para um elemento de K.

Veja também: Estruturas Algébricas, Supremo, Ínfimo, Cota Superior, Cota Inferior, Domínio de Integridade

Referências:

Elon Lages Lima. Análise Real, volume 1. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1989.

Adilson Gonçalves. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1979.

Autor desta página: Eric Campos Bastos Guedes - Niterói - RJ - Brasil

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Essa página foi visitada Contador de acesso vezes. Última atualização: Sábado, 05 de Fevereiro de 2000

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