DOMÍNIO DE INTEGRIDADE
Tópicos:
Conceito
de Domínio de Integridade
| Denotando a
Multiplicação num Domínio de Integridade | Prioridade
das operações | Axiomas de Domínio de
Integridade | Exemplos de Domínios | Estruturas que NÃO são domínios | Unicidade
do Neutro | Unicidade do Simétrico | Teoremas
Básicos
Conceito de Domínio de integridade.
Um
domínio, ou domínio de integridade (D, +, ´) é um conjunto
não vazio D munido de duas operações
binárias que podemos denotar por + (adição) e ´
(multiplicação) satisfazendo os 5 axiomas de domínio
de integridade. Um domínio de integridade é uma estrutura
algébrica. Existem outras estruturas
algébricas que não são domínios. A palavra integridade provem,
talvez, da palavra em língua inglesa integer, que significa inteiro,
ou número inteiro. Os domínios de integridade são, portanto, estruturas algébricas
que tem muitas das propriedades dos números inteiros. O próprio conjunto Z
dos inteiros munido das operações usuais de adição e multiplicação de números
inteiros é um domínio de integridade.
Denotando a multiplicação num domínio de
integridade.
A
multiplicação de dois elementos x e y pode ser indicada por x ´ y ou por justaposição, assim: xy.
Portanto, os símbolos x ´ y
e xy denotam ambos o produto (multiplicação) de x por y.
Por
convenção, a multiplicação deve ser efetuada antes da adição, assim, xy
+ z significa (xy) + z e não x(y + z).
Também por convenção a potenciação deve ser efetuada antes da multiplicação
e da adição, assim yx4 (4 pertence a Z mas não
necessariamente ao domínio D em que estão x e y)
significa yxxxx e não (yx)(yx)(yx)(yx).
Axiomas de domínio de integridade.
Um
conjunto D não
vazio dotado de uma adição (+) e uma multiplicação (´) é um domínio de integridade (D, +, ´) quando satisfaz os 5 seguintes axiomas.
A1)
A adição é associativa,
isto é, para todos os elementos x, y, z de D vale:
(x + y) + z = x + (y + z)
A2)
A adição em D possui um elemento
neutro que denotamos 0D, ou simplesmente 0, e chamamos
zero, isto é, existe um elemento 0 Î
D tal que para todo elemento x do conjunto D vale 0 + x = x + 0 =
x. O elemento 0 é também chamado de elemento nulo, e os
elementos diferentes de 0 são chamados de elementos não nulos.
A3)
Todo elemento de D é simetrizável
com respeito à adição, ou seja, para cada elemento x de D
existe um elemento –x também em D tal que x + (–x)
= (–x) + x = 0.
A4)
A adição é comutativa,
isto é, quaisquer que sejam os elementos x e y em D, vale
sempre x + y = y + x
M1)
A multiplicação é associativa,
ou seja, quaisquer que sejam os elementos x, y, z em D
vale (xy)z = x(yz)
M2)
A multiplicação em D possui um elemento
neutro que denotamos por 1D, ou simplesmente por 1,
e chamamos de um, isto é, existe um elemento 1 em D tal que 1x
= x1 = x
M3)
A multiplicação (isto é, o produto) de quaisquer dois elementos não nulos de
D é um elemento não nulo, ou seja, o produto de elementos diferentes de
0 é também diferente de 0 num domínio. Esse axioma é equivalente a dizer que
se x e y estão num domínio de integridade então xy = 0
acarreta x = 0
ou y = 0. De outro modo, se o produto de dois elementos de um domínio de
integridade é 0 (zero) um dos fatores desse produto tem que ser 0 (zero). Isso
é o mesmo que dizer que num domínio não há divisores de zero (divisores próprios
de zero). Esta propriedade dos domínios é chamada de integridade.
M4) A multiplicação é comutativa, ou seja,
quaisquer que sejam os elementos x, y de um domínio de
integridade vale (xy)z = x(yz)
DE) A multiplicação é distributiva à esquerda com
relação à adição, isto é, para todos os elementos x, y, z
de um domínio de integridade vale x(y + z) = xy + xz.
Exemplos
de domínios de integridade.
1.
(Z,
+, ´)
é um domínio de integridade
2.
(Q,
+, ´),
(R, +, ´),
(C, +, ´)
são domínios
3.
Seja Z[i] = {a
+ bi | a,b Î Z}
então (Z[i], +, ´)
é um domínio chamado anel dos inteiros de Gauss. Nesse caso a adição
e a multiplicação são a adição usual e a multiplicação usual de números
complexos restrita a Z[i].
4.
Fixado um inteiro positivo n temos que ({a+bÖn
| a,b Î Z},
+, ´)
e ({a+biÖn | a,b Î Z}, +, ´) são domínios.
5.
O conjunto Z/nZ = {[0], [1], [2], ..., [n–1]} onde para
cada número inteiro a vale [a] = {a+kn | k Î Z} munido da adição e da multiplicação definidas
por [x]´[y] = [xy] e [x]+[y] = [x+y]
é um domínio de integridade onde o elemento neutro da adição é [0], o
elemento neutro da multiplicação é [1] e o inverso (simétrico) de
de [x] com respeito à adição é [–x].
Exemplos de
estruturas algébricas que NÃO são domínios.
1. Seja M2´2(R) = R2´2 o conjunto das matrizes 2 por 2 com entradas em R munido das operações usuais de soma e produto de matrizes. Não se trata de um domínio de integridade, porque o produto de duas matrizes 2 por 2 não nulas com entradas em R pode ser nulo. Por exemplo:
 |
Unicidade do
Elemento Neutro num domínio.
Seja 0 um elemento
neutro (para a adição) em um domínio de integridade D. Suponha que
0’ também é elemento neutro do domínio D. Nesse caso:
0 = 0 + 0’
(pois 0’ é elemento neutro para a adição em D)
0 + 0’ = 0’
(pois 0 é elemento neutro para a adição em D)
portanto 0 = 0 + 0’ = 0’, logo 0 = 0’, isto é,
dois elementos neutros para a adição em D são, necessariamente iguais.
Isto é, há um único elemento neutro para a adição em um domínio D
qualquer. De forma análoga prova-se que há um único elemento neutro para a
multiplicação num domínio D.
Unicidade do
elemento simétrico num domínio.
Seja (D, +, ´) um domínio de
integridade e x Î D. O axioma A3) garante a existência de um elemento
simétrico para x em D, isto é garante que existe –x
em D tal que x + (–x) = (–x) + x = 0.
Suponha que y e z sejam elementos
simétricos de x em D, isto é, x + y = y
+ x = 0 e x + z
= z + x = 0. Nesse caso:
y = y + 0
(pois existe o elemento neutro 0 para a adição em D)
= y + (x + z)
(pois 0 = x + z já que z é elemento simétrico de x)
=(y + x) + z
(pois a adição é
asociativa em D)
=
0 + z
(pois y + x = 0 já que y é elemento simétrico de x)
=
z
(pois 0 é elemento neutro para a adição em D)
portanto y = z, isto é, cada elemento x
Î
D (D domínio) admite um único simétrico com respeito a adição.
TEOREMAS BÁSICOS SOBRE DOMÍNIOS DE INTEGRIDADE
Teorema.
Condição Suficiente para um Domínio ser Corpo.
Todo domínio de integridade finito é um corpo.
Veja também: Domínio Fatorial, Domínio de Fatoração
Única, Domínio Principal, Domínio Euclidiano.
Referências
Arnaldo Garcia e Yves
Lequain. Álgebra: um curso de introdução. Rio de Janeiro, Instituto de
Matemática Pura e Aplicada, 1988. 213 páginas (Projeto Euclides)
Richard A. Dean. Elementos
de Álgebra Abstrata; tradução de Carlos Alberto A. de Carvalho. Rio de
Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1974. 332 páginas. (com texto,
problemas e exercícios)