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ELEMENTO IRREDUTÍVEL
Definição. Elemento Irredutível.
Seja (A, +, · )
um anel comutativo com unidade. Um elemento a Î A
é irredutível em A se satisfizer as 3 seguintes condições:
- a ¹ 0A,
isto é, a não é o elemento nulo (a não é o elemento
neutro para a adição em A)
- a não é inversível em A,
isto é, não existe b Î A
tal que ab = 1A, onde 1A
é o elemento identidade do anel (A, +, · ).
- o elemento a não possui
fatoração não trivial em A, isto é, toda fatoração de a
em elementos de A é trivial. De outro modo, se a = bc,
com b, c Î A
então b é invertível ou c é invertível.
Exemplo 1.
Elemento Irredutível. Seja
Z o anel dos inteiros. Então:
- 1 e -1 NÃO são
irredutíveis em Z, pois são inversíveis.
- 0 NÃO é irredutível
em Z, pois é o elemento neutro da adição (elemento nulo).
- 4, 6 e 35 NÃO são
irredutíveis em Z pois admitem fatorações triviais em Z,
digamos: 4 = 2 × 2;
6 = 2 × 3; 35 = (-5) × (-7).
- os inteiros 2; 3; 5; 7 e 11 são
alguns elementos irredutíveis de Z. O inteiros -2, -3, -5, -7 e -11
também são elementos irredutíveis de Z.
Exemplo 2.
Elemento Irredutível. Seja
R[X] o anel dos polinômios na indeterminada X. Nesse caso:
- 2; 3; 5; 7 e 11 NÃO
são irredutíveis em R[X], já que são inversíveis em R[X]
(seus inversos são respectivamente 1/2, 1/3, 1/5, 1/7, 1/11 Î R[X])
- 1 + 3X + 3X2 + X3
e 2 + 3X + X2 NÃO são
irredutíveis já que eles admitem fatoração não trivial:
1 + 3X + 3X2 + X3 = (1 + X)3
e 2 + 3X + X2 = (1 + X)(2 + X).
- 1 + X, 3 + X,
5 + 5X e qualquer polinômio do primeiro grau em R[X] é
irredutível (em R[X]) pois não são inversíveis nem nulos e não
admitem fatoração não trivial em R[X].
Veja Também: Anel, Anel
Comutativo, Anel
Comutativo com Unidade, Anel de Polinômios, Domínio Fatorial,
Elemento Associado, Elemento Neutro, Elemento Nulo,
Elemento Primo,
Referências:
Arnaldo Garcia, Yves Lequain. Álgebra:
um curso de introdução. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e
Aplicada, 1988. 213 páginas. (Projeto Euclides).
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