ELEMENTO NEUTRO
Tópicos:
Elemento neutro a esquerda | Elemento neutro a direita | Elemento neutro | Elemento neutro bilateral
DEFINIÇÃO. Elemento neutro a esquerda
Seja (G, *) um grupóide. Dizemos que (G, *) admite elemento neutro a esquerda se existir eE Î G tal que para todo x em G tenhamos eE*x = x.
O elemento eE Î G é chamado de elemento neutro a esquerda de * em G.
EXEMPLOS
- Se G é o corpo dos números reais e a*b = (a - 5)b, então 6 é elemento neutro a esquerda da operação *. De fato, para todo x real, 6*x = x.
- Considere os reais positivos munidos da operação a Å b = b(a-2). Nesse caso o número 3 é elemento neutro a esquerda para a operação Å . De fato, para todo real x tem-se 3 Å x = x.
EXERCÍCIOS
(1) Ache o elemento neutro a esquerda de cada operação
(1.1) Ä : Z ´ Z à Z, a Ä b = b(a - 2)
(1.2) Ä : Z ´ Z à Z, a Ä b = b(a + 5)
(1.3) Å : R+ ´ R+ à R+, p Å q = q(p – 5)
(1.4) Å : R+ ´ R+
à R+,
(1.5) + : Z ´ Z à Z, a + b = ba2 - 8b
(1.6) + : R ´ R à R, a + b = b (sen a)
[Soluções]
DEFINIÇÃO. Elemento neutro a direita
Seja (G, *) um grupóide. Dizemos que (G, *) admite elemento neutro a direita se existir eD Î G tal que para todo x em G tenhamos x*eD = x.
O elemento eD Î G é chamado de elemento neutro a direita de * em G.
EXERCÍCIOS
(2) Ache o elemento neutro a direita de cada operação
(2.1) Ä : Z ´ Z à Z, b Ä a = b(a - 2)
(2.2) Ä : Z
´ Z
à Z,
x Ä y = 
(2.3) Å : R+ ´ R+ à R+, p Å q = q(p – 5)
(2.4) Å : R+
´ R+
à R+,
(2.5) Å : Z ´ Z à Z, a Å b = ab2 - 120a
(2.6) Å : R ´ R à R, a Å b = b (cos a)
[Soluções]
DEFINIÇÃO. Elemento neutro
Seja (G, *) um grupóide. Dizemos que (G, *) admite elemento neutro se existir e Î G tal que para todo x em G tenhamos x*e = e*x = x. O elemento e Î G é chamado de elemento neutro de * em G. Um elemento neutro para uma operação é um elemento neutro tanto a esquerda quanto a direita para esta operação, por isso é chamado também de elemento neutro bilateral.
EXERCÍCIOS
(3) Ache os elementos neutros de cada operação caso existam
(3.1) Å : Z ´ Z à Z, a Å b = a + b - 4
(3.2) Ä : R ´ R à R, a Ä b = ab + a + b
(3.3) ^ : Z ´ Z à Z, a ^ b = ab - a - b
(3.4) * : Z+ ´ Z+ à Z+, a*b = ab + ba
(3.5) Å : Z+ ´ Z+ à Z+, a Å b = ab + ba – 1
(3.6) * : R+ ´ R+ à a*b = abba
[Soluções]
DEFINIÇÃO. Elemento neutro bilateral
O mesmo que elemento neutro
EXERCÍCIO
(4) Seja (G, +) um grupóide qualquer. Mostre que se a operação + admite elemento neutro, então ele é único. [Solução]
Veja também: Elemento Idempotente, Elemento Nilpotente, Elemento Absorvente, Elemento Regular, Elemento Simétrico, Elemento Simetrizável, Elemento Simplificável, semi-grupo, monóide, grupo
Referências:
Higino H. Domingues, Gelson Iezzi. Álgebra Moderna. 2. ed. São Paulo: Atual, 1982.
Edgard de Alencar Filho. Elementos de Álgebra Abstrata. 4. ed. São Paulo: Nobel, 1978