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ELEMENTO SIMETRIZÁVEL

Tópicos: Elemento Simetrizável | Elemento Invertível | Elemento Inversível | Exemplos de Elementos Simetrizáveis | Simétrico (elemento simétrico) | Inverso (elemento inverso)

Definição. Elemento Simetrizável. Seja (G, *) um grupóide. Se * é uma operação em G com elemento neutro e, dizemos que x Î G é simetrizável ou inversível (ou ainda invertível) se existir x' Î G tal que x * x' = x' * x = e. Caso exista tal x' ele será chamado de o inverso de x, ou o simétrico de x (com respeito à operação * em G).

Definição. Elemento Inversível. É o mesmo que elemento simetrizável.

Definição. Elemento Invertível. É o mesmo que elemento simetrizável.

Exemplos de Elementos Simetrizáveis

• O conjunto Z dos números inteiros munido da soma usual + é um grupóide com elemento neutro 0 (zero) e todo elemento de Z é simetrizável, pois qualquer que seja o número inteiro x existe outro inteiro, -x, seu oposto, tal que x + (-x) = 0.
• No grupóide (Z, ×) os únicos elementos simetrizáveis são 1 e -1. O inteiro 2 não é inversível em Z, pois não existe um elemento de Z que multiplicado por 2 resulte no elemento neutro para a multiplicação em Z, isto é, em 1.
• No conjunto R dos números reais munido da operação de multiplicação o único elemento não inversível é o 0 (zero), pois não existe um número real que multiplicado por 0 resulte no elemento neutro da multiplicação em R, isto é, no 1.
• O número racional 7 é simetrizável no grupóide (Q, ×), sendo 1/7 seu inverso; o número inteiro 7 é simetrizável em (Z, +), sendo neste caso -7 seu simétrico; o número natural 7 não é simetrizável no grupóide (N, +), pois não existe um número natural n tal que 7 + n = 0.
• Todo elemento do Anel dos Inteiros de Gauss, isto é, de (Z[i], +, · ) é simetrizável com respeito a adição (+). O simétrico de 2 - 3i é -2 + 3i com respeito a adição. Em relação ao produto (·) só os elementos 1, -1, i, -i são simetrizáveis em Z[i]. 

Definição. Simétrico. Seja C um conjunto e + uma operação qualquer definida em C com elemento neutro 0. Se x está em C e x é simetrizável com respeito a operação +, então o simétrico de x (ou elemento simétrico de x) com respeito a operação + é o elemento -x em C tal que x + (-x) = 0. Costuma-se usar mais o nome simétrico quando falamos em relação a uma operação denotada com o sinal +.

Definição. Inverso. O inverso, ou elemento inverso é o mesmo que simétrico ou elemento simétrico, mas costuma-se falar mais em inverso quando a operação em questão não é denotada pelo sinal +.

Veja também: Elemento Neutro

Referências:

Hygino H. Domingues, Gelson Iezzi. Álgebra Moderna. 2. ed. São Paulo: Atual, 1982.

Autor desta página: Eric Campos Bastos Guedes - Niterói - RJ - Brasil

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Essa página foi visitada vezes. Última atualização: Sábado, 05 de Fevereiro de 2000

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