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ESPAÇOS VETORIAIS

Tópicos:

Definição de Espaço Vetorial | Axiomas de Espaço Vetorial | Vetor Nulo | Exemplos de Espaços Vetoriais | Teoremas Básicos sobre E.V. | Combinação Linear | Subespaço Vetorial | Caracterizações de Subespaços Vetoriais | Exemplos de Subespaços Vetoriais

ESPAÇOS VETORIAIS (OU ESPAÇOS LINEARES)

DEFINIÇÃO

Um espaço vetorial (ou espaço linear) sobre F (também chamado F-espaço vetorial) consiste num corpo F cujos elementos chamam-se escalares; um conjunto V de objetos denominados vetores; uma operação + : V ´ V à V chamada adição de vetores; e uma multiplicação de escalar por vetor que associa a cada par ordenado de F ´ V um elemento de V, de modo que cumprem-se os seguintes axiomas:

AXIOMAS DE ESPAÇO VETORIAL

Adição de vetores

(A1) Comutatividade:

A adição de vetores é comutativa, isto é,

" u, v Î V, u + v = v + u

(A2) Associatividade:

A adição é associativa, isto é,

" u, v, w Î V, u + (v + w) = (u + v) + w

(A3) Existência do elemento neutro a direita:

A adição admite elemento neutro a direita 0_VÎV, isto é,

$0_V Î V, " u Î V, u + 0 = u

(A4) Existência do elemento simétrico a direita:

Para cada vetor u Î V existe um vetor (-u) Î V tal que u + (-u) = 0_V, isto é,

"u ÎV, $ (-u) Î V tal que u + (-u) = 0_V

Multiplicação de vetor por escalar

(M1) Se 1_F é a unidade do corpo F, então para todo vetor u em V, vale 1_Fu = u

(M2) "a, b Î F, "u ÎV vale (ab)u = a(bu)

(M3) "aÎF, "u,v ÎV, a(u + v) = au + av

(M4) "a,bÎF, "u, (a + b)u = au + bu

OBSERVAÇÕES

1. Na verdade, como a adição de vetores é comutativa, todo elemento neutro a direita é também elemento neutro a esquerda, sendo por isso um elemento neutro bilateral, ou simplesmente elemento neutro.
2. Como a adição é comutativa todo elemento simétrico a direita é também elemento simétrico bilateral.
3. Em todo espaço vetorial V existe um único elemento neutro aditivo 0_V
4. Dado u Î V, existe um único simétrico aditivo (-u) Î V de u

Definição. Vetor Nulo. Chamamos vetor nulo o elemento neutro de um espaço vetorial. Em R² o vetor nulo é (0, 0), em R³ o vetor nulo é (0, 0, 0), etc.

EXERCÍCIOS

1. Mostre que na adição de vetores, todo elemento neutro a direita é elemento neutro bilateral, e que o elemento neutro de um espaço vetorial V é único. [Solução]
2. Seja V um espaço vetorial. Mostre que (V, +) é um grupo abeliano. [Solução]

EXEMPLOS DE ESPAÇOS VETORIAIS

Exemplo 1. O K-espaço vetorial das n-uplas de K, Kⁿ.

Seja K um corpo qualquer e seja Kⁿ o conjunto de todas as n-uplas a  = (x₁, x₂, ... , x_n) de escalares x_i em K. Se b  = (y₁, y₂, ... , y_n) com y_i em K, a soma de a e b é definida usualmente por

a + b = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ... , x_n + y_n)

O produto de um escalar c (em K) por um vetor a (em V) é definido por

ca = (cx₁, cx₂, ... , cx_n)

Exemplo 1.1. O espaço vetorial R².

Sendo R o corpo dos reais e R² o conjunto dos pares ordenados de números reais, o conjunto dos vetores de R² com escalares em R e soma usual de elementos de R² e produto usual de número real por vetor de R² é um espaço vetorial, conforme o exemplo 1. O mesmo vale para R³.

EXERCÍCIO

1. Mostre que de fato Kⁿ é um espaço vetorial sobre K com as operações que definimos. [Solução]

Exemplo 2. Espaço vetorial das seqüências de elementos de um corpo K

Trata-se de um K-espaço vetorial. É denotado por K^¥ e seus elementos são sucessões x = (x₁, x₂, ... , x_n, ...), y = (y₁, y₂, ... , y_n, ...) de escalares de K. A adição e a multiplicação por um escalar a Î K são definidas assim:

x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ... , x_n + y_n ...)

a x = (a x₁, a x₂, ... , a x_n, ...)

EXERCÍCIO

(2.1) Mostre que K^¥ com a soma e o produto por escalar acima definidos é de fato um K-espaço vetorial. [Solução]

Exemplo 3. O espaço das m ´ n matrizes sobre um corpo F

Trata-se de um F-espaço vetorial e é denotado por M_m´n(F) ou por F^m´n. Seus elementos são todas as m ´ n matrizes sobre um corpo F. Designando por X_ij o elemento da i-ésima linha e da j-ésima coluna da matriz X, definimos a soma de matrizes e o produto de um escalar a por matriz como:

(A + B)_ij = A_ij + B_ij

(a A)_ij = a A_ij

Assim, se A e B são matrizes m ´ n, sua soma é uma matriz m ´ n cujo ij-ésimo termo coincide com a soma dos ij-ésimos termos das matrizes A e B. O produto de um escalar a Î F pela m ´ n matriz A é uma m ´ n matriz cujo ij-ésimo termo é o produto de a pelo ij-ésimo termo de A .

Note que F^1´n = Fⁿ

Exemplo 4. O espaço vetorial das sucessões num corpo K com um número finito de termos não nulos, K^{(¥ )}.

É um K-espaço vetorial denotado por K^{(¥ )}. Seus elementos são seqüências em K com um número finito de termos não nulos. Essas seqüências se caracterizam pelo fato de que para cada uma delas existe um natural n tal que todo termo a partir do n-ésimo é nulo.

EXERCÍCIO

(4.1) Mostre que se K é um corpo, a soma de elementos de K^{(¥ )} está em K^{(¥ )}.

[Solução]

Exemplo 5. O espaço das funções de um conjunto em um corpo, K^S ou F (S, K)

Seja K um corpo arbitrário e S um conjunto não vazio qualquer. Nesse caso o conjunto K^S das funções de S em K é um espaço vetorial com a soma usual de funções e produto usual de escalar por função. Se f e g são elementos (vetores) do K-espaço vetorial K^S e c é um escalar (isto é, um elemento do corpo K) então a soma f + g é definida por:

" s Î S, (f + g)(s) = f(s) + g(s)

e o produto cf é definido por

" s Î S, (cf)(s) = cf(s)

EXERCÍCIO

(5.1) Mostre que se f, g Î K^S então f + g = g + f.

(5.2) Mostre que a adição no K-espaço vetorial K^S é associativa.

(5.3) Explicite o elemento neutro de K^S.

(5.4) Descreva o elemento simétrico de f Î K^S.

(5.5) Podemos considerar algum dos exemplos 1, 2 ou 3 como caso particular do exemplo 5? Justifique.

Exemplo 6. O espaço dos polinômios sobre um corpo F.

Seja K um corpo e V o conjunto de todos os polinômios sobre K na indeterminada X

V = {a₀ + a₁X + a₂X² + a₃X³ + ... + a_nXⁿ : a_i Î K, n inteiro não negativo}

Então V é um espaço vetorial sobre K com a operação usual de soma de polinômios e multiplicação usual de polinômio por constante.

Exemplo 7. Espaço vetorial dos polinômios sobre K de grau não maior que n, P_n(K)

Seja K um corpo qualquer e n um inteiro não negativo. Indicamos por P_n(K) o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n sobre o corpo K incluindo nesse conjunto o polinômio nulo. Nesse caso P_n(K) é um espaço vetorial com a adição usual de polinômios e produto usual de escalar por polinômio.

EXERCÍCIO

(7.1) O espaço vetorial P_n(K) está isomorficamente contido, ou imerso, no espaço vetorial dos polinômios sobre K? Justifique.

Exemplo 9. Dado um corpo K e F um seu subcorpo, temos que K é um espaço vetorial sobre o corpo F. Isto é, dado um corpo F e K uma extensão de F, verifica-se que K é um F-espaço vetorial com a adição de K e multiplicação usual de elementos de F por elementos de K.

Exemplo 9.1. Todo corpo é um seu subcorpo, portanto, conforme o exemplo 9, todo corpo é um espaço vetorial sobre ele mesmo. De outro modo: se K é um corpo, então K é um K-espaço vetorial.

Exemplo 9.2. O conjunto R₊ dos números reais não negativos é um subcorpo do conjunto R dos números reais. Assim, R é um espaço vetorial sobre R₊, conforme o exemplo 9.

Exemplo 9.3. Como o corpo C dos números complexos é extensão do corpo R dos números reais, então C é um R-espaço vetorial, isto é, neste caso C é o conjunto de vetores e R é o conjunto dos escalares.

Exemplo 9.4. Sendo R o corpo dos números reais e Q o corpo dos números racionais, como R é extensão de Q então de acordo com o exemplo 9, R é um Q-espaço vetorial (vetores em R, escalares em Q) com a adição e multiplicação usuais.

TEOREMAS BÁSICOS SOBRE ESPAÇOS VETORIAIS

TEOREMA DA UNICIDADE DO NEUTRO NUM ESPAÇO VETORIAL

Seja V um K-espaço vetorial. Existe um único 0_V Î V, chamado vetor nulo, tal que para todo v Î  V vale v + 0_V = 0_V + v = v, isto é, o elemento neutro de um espaço vetorial é único. [Prova]

TEOREMA DO CANCELAMENTO

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Para todos u, v, w em V, se u + v = u + w então v = w. [Prova]

CARACTERIZAÇÃO DO NEUTRO DE UM ESPAÇO VETORIAL

Seja V um K-espaço vetorial. Para todo v Î V, temos v + v = v se e somente se v = 0_V. Isto é, v + v = v é condição necessária e suficiente para v = 0_V. [Prova]

PRODUTO DE ESCALAR PELO NEUTRO DO EV

Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K. Se 0_V é o elemento neutro de V, então para todo a Î K temos a0_V = 0_V. [Prova]

ANULAMENTO DE PRODUTO DE ESCALAR POR VETOR

Seja V um K-espaço vetorial e 0_V o elemento neutro de V. Para todo a  Î  K e todo v Î V, vale av = 0_V se e somente se a = 0 ou v = 0_V. [Prova]

UNICIDADE DO ELEMENTO SIMÉTRICO NUM EV

Seja V um K-espaço vetorial. Para todo v Î V existe um único v’ Î V tal que v + v’ = 0_V, isto é, o vetor simétrico de qualquer vetor v é único. [Prova]

CARACTERIZAÇÃO DO ELEMENTO SIMÉTRICO NUM EV

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Seja 1 a unidade de K, (-1) o simétrico aditivo desta unidade e v um vetor arbitrário de V. Se v’ é o simétrico de v em V, então v’ = (-1)v. [Prova]

COMBINAÇÃO LINEAR

Definição. Combinação linear

Seja V um K-espaço vetorial. Um vetor u é combinação linear dos vetores v₁, v₂, ... , v_n de V se existem escalares a₁, a₂, ... , a_n em K tais que u = S a_iv_i, isto é, se

u = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n =

SUBESPAÇO VETORIAL

Conceito. Subespaço

Dado um espaço vetorial V, um subespaço W de V é um conjunto de vetores de V que é por si só um espaço vetorial. Então W é um subconjunto não vazio do espaço vetorial V e W é também um espaço vetorial. Nesse caso a soma de vetores de W está em W, e o produto de escalar por vetor de W também está em W.

Definição 1. Subespaço

Seja V um espaço vetorial sobre o corpo F. Um subespaço de V é um subconjunto W de V que é um espaço vetorial sobre F com a adição de vetores de V restrita a W e a multiplicação escalar por vetores de V restrita aos vetores de W.

Definição 2. Subespaço

Seja V um F-espaço vetorial com a adição de vetores Å : V ´ V à V e a multiplicação escalar Ä : F ´ V à V. Um subespaço de V é um subconjunto não vazio W de V que ainda é um espaço vetorial com a adição de vetores Å|_W´W: W ´ W à W e a multiplicação escalar Ä |_F´W: F ´ W à W.

Definição 3. Subespaço

Seja V um espaço vetorial sobre F. Um subconjunto não vazio W de V é um subespaço de V quando W é fechado para adição de vetores definida em V e quando o produto de qualquer escalar de F por qualquer vetor de W ainda está em W.

CARACTERIZAÇÕES DE SUBESPAÇOS VETORIAIS

Teorema 1. Caracterização dos subespaços

Seja V um K-espaço vetorial. Um subconjunto não vazio W de V é um subespaço de V se, e somente se, para cada par de vetores w₁, w₂ em W e cada escalar k em K, valer w₁ + w₂ Î W e kw₁ Î W.

De outro modo, W é subespaço de um K-espaço vetorial V se

1. W Í V
2. W ¹ Æ
3. " w₁, w₂ Î W, w₁ + w₂ Î W
4. " k Î K, " w Î W, kw Î W

Teorema 2. Caracterização dos subespaços

Seja V um K-espaço vetorial com elemento neutro 0_V. Um subconjunto W de V é um subespaço de V se, e somente se, 0_V Î W e para cada par de vetores w₁, w₂ em W e cada escalar k em K, valer w₁ + w₂ Î W e kw₁ Î W.

De outro modo, W é subespaço de um K-espaço vetorial V com neutro 0_V se

1. W Í V
2. 0_V Î W
3. " w₁, w₂ Î W, w₁ + w₂ Î W
4. " k Î K, " w Î W, kw Î W

Teorema 3. Caracterização dos subespaços

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto não vazio W de V é um subespaço de V se, e somente se, para cada par de vetores w₁, w₂ em W e cada escalar k em K, o vetor kw₁ + w₂ está em W.

De outro modo, W é subespaço de um espaço vetorial sobre um corpo K se

1. W Í V
2. W ¹ Æ
3. " w₁, w₂ Î W, "k ÎK, kw₁ + w₂ Î W

Teorema 4. Caracterização dos subespaços

Seja V um K-espaço vetorial com elemento neutro 0_V. Um subconjunto W de V é um subespaço de V se, e somente se, 0_V Î W e para cada par de vetores w₁, w₂ em W e cada escalar k em K, o vetor kw₁ + w₂ está em W.

De outro modo, W é subespaço de um K-espaço vetorial com elemento neutro 0_V se

1. W Í V
2. 0_V Î W
3. "w₁, w₂ Î W, "k Î K, kw₁ + w₂ Î W

EXEMPLOS DE SUBESPAÇOS VETORIAIS

Exemplo 1.

1. Se V é um espaço vetorial arbitrário, então V é subespaço de V, ou seja, todo espaço vetorial é subespaço dele mesmo.
2. O conjunto unitário constituído pelo vetor nulo é um subespaço vetorial, denominado espaço nulo de V.
3. W = {(0, y) : y Î R} é um subespaço de R² com escalares reais. Note que o produto de um número real por um elemento de W é ainda um elemento de W, e que a soma de elementos de W está em W.
4. U = {(x, x) : x Î R} é um subespaço de R² com escalares reais. Note que a soma de vetores de U está em U, e que o produto de números reais por vetores de U está também em U.
5. Qualquer reta que passe pela origem é um subespaço de R² com escalares reais. De fato, a soma de dois vetores sobre sobre uma reta que passa pela origem é ainda um vetor sobre essa reta, bem como continuam sobre a tal reta o produto de números reais por vetores sobre a reta em questão.
6. Analogamente, qualquer reta pela origem é um subespaço de R³ com escalares em R.
7. Qualquer plano de R³ que passe pela origem é um subespaço de R³ com escalares em R. Note que quaisquer dois vetores pertencentes a um plano que passa pela origem terão soma no plano e o produto de um número real por um vetor de tal plano ainda estará no plano. Um plano pela origem em R³ (com escalares em R) é um espaço vetorial isomorfo ao R² com escalares em R.
8. O conjunto A =

das matrizes quadradas de ordem 2 com entradas em R cujos elementos da primeira coluna são nulos é um subespaço de R^2´2 (ou M_2´2(R)) com escalares reais. Note que a soma de elementos de A está em A, e o produto de escalares (reais) por elementos de A ainda está em A. Claramente A ¹ Æ e A Ì R^2´2, Logo A é um subespaço de M_2´2(R).

Exemplo 2.

1. Seja K um corpo. O K-espaço linear das sucessões em K com um número finito de termos não nulos é subespaço do K-espaço vetorial das sucessões de elementos de K.
2. Seja K um corpo. O K-espaço vetorial formado pelos polinômios em K de grau menor ou igual a um natural fixo n, mais o polinômio nulo, é subespaço do K-espaço vetorial dos polinômios sobre K. Note que o primeiro EV é não vazio e está contido no segundo. Além disso a soma de dois polinômios de grau menor ou igual a n ou é um polinômio de grau menor ou igual a n, ou é o polinômio nulo. O produto de um escalar (elemento de K) por um polinômio de grau menor ou igual a n é ainda um polinômio de grau menor ou igual a n.
3. Seja A o conjunto das funções reais contínuas no intervalo [0, 1] e B o conjunto das funções reais no intervalo [0, 1]. A e B são espaços vetoriais quando munidos da adição usual de funções e produto usual de número real por função. Além disso A é subespaço de B, pois A ¹ Æ , A Ì B, a soma de elementos de A está em A (a soma de funções contínuas é função contínua) e o produto de escalares (números reais) por elementos de A também está A (o produto de número real por função contínua é função contínua)

Veja também: Transformação Linear, Estrutura Algébrica, Corpo, Número Real

Referências:

Kenneth Hoffman, Ray Kunze. Álgebra Linear. Trad. Renate Watanabe. 2. ed. Rio de Janeiro, São Paulo: Livros Técnicos e Científicos Editora, 1979.

Elon Lages Lima. Álgebra Linear. 1. ed. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq, 1995. 320 pp. (Coleção Matemática Universitária)

Serge Lang. Álgebra Linear. (Linear Algebra) Trad. Frederic Tsu. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1971.

Autor desta página: Eric Campos Bastos Guedes - Niterói - RJ - Brasil

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Essa página foi visitada vezes. Última atualização: Domingo, 06 de Fevereiro de 2000

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