FUNÇÃO
Tópicos:
Conceito de Função | Denotando uma Função | Função Parcial e Função Total | Domínio de uma Função | Imagem de uma Função | Função Sobrejetiva | Função Injetiva | Bijeção | Função Inversa
Uma função de A em B é uma representação de elementos de C Ì A por elementos de B, onde cada elemento C admite uma única representação em B. Quando A = C, isto é, quando todo elemento de A tem um representante em B a função é dita função total, ou simplesmente função. Quando C ¹ A, a função é dita função parcial, e é menos conhecida que a função total pois para a maior parte da Matemática é suficiente e preferível trabalhar com a função total visto que os cálculos com funções parciais são mais complexos.
REPRESENTANDO UMA FUNÇÃO
A representação de uma função é feita do mesmo modo que a de uma relação binária, por meio do diagrama sagital, diagrama cartesiano (representação cartesiana) ou representação matricial.
Uma função de A em B, isto é, uma função com conjunto de partida A e conjunto de chegada B é denotada por f : A à B. O representante (único) de um elemento c Î C Ì A por uma função f é denotado por f (c).
FUNÇÕES PARCIAIS E FUNÇÕES TOTAIS
Uma função (total) é uma relação binária na qual cada elemento do conjunto de partida está associado a um único elemento do conjunto de chegada.
Agora exemplos de relações binárias que não são funções (totais):
Não é função total, pois existe pelo menos um elemento do conjunto de partida A, o 2, que não está associado a nenhum elemento do conjunto de chegada B. Trata-se de uma função parcial, pois nenhum elemento de A admite mais de um representante em B.
Segue um exemplo de relação binária que não é nem função total nem função parcial.
Não é função nem total nem parcial, pois existe um elemento do conjunto de partida A, a saber o -1, que está associado a dois elementos do conjunto de chegada B, a saber o 7 e o -3.
Numa função, seja ela total ou parcial, nenhum elemento do conjunto de partida admite mais de um representante no conjunto de chegada.
Numa função f de A em B, chamamos de domínio de f e indicamos por D(f ) ou Dom(f ) o conjunto dos elementos de A que estão representados em B, isto é, o conjunto dos elementos a Î A para os quais existe b Î B tal que f(a) = b. Note que o domínio de uma função g de A em B coincide com o conjunto de partida A se, e somente se cada elemento do conjunto de partida A admite um representante em B, isto é, se, e só se g é função total.
Dada uma função f : A à B a imagem de f, que representamos por Im( f ) ou por f (A), é o conjunto dos elementos b Î B para os quais existe a Î A satisfazendo f (a) = b. Simbolicamente:
Im( f ) = f (A) = {b Î B : $aÎA, b = f (a)}
Também chamada de sobrejeção. É uma função em que todo elemento do conjunto de chegada está associado a algum elemento do conjunto de partida. É uma função na qual não "sobra" nenhum elemento no conjunto de chegada, isto é, todo elemento do conjunto de chegada representa algum elemento do conjunto de partida. Simbolicamente:
f : A à B é sobrejeção se e só se f (A) = B
Uma função f : A à B é injetiva quando quaisquer dois elementos distintos de Dom(f ) tem representantes distintos em B. Ou seja, f é injetiva se para todos a1, a2 Î Dom(f ) tivermos a1 ¹ a2 acarretando f (a1) ¹ f (a2). Uma definição equivalente é dizer que uma função f é injetiva se a1 = a2 sempre que f(a1) = f(a2). Simbolicamente temos:
f é injetiva se, e somente se " a1, a2 Î Dom(f ), a1 ¹ a2 à f (a1) ¹ f (a2)
ou equivalentemente
f é injetiva se, e somente se " a1, a2 Î Dom(f ), f (a1) = f (a2) à a1 = a2
BIJEÇÃO, FUNÇÃO BIJETORA, FUNÇÃO BIJETIVA
Uma bijeção é o mesmo que função bijetora e que função bijetiva. Uma bijeção é uma função total que é injetiva e sobrejetiva. Em outras palavras, uma bijeção é uma função (total) de A em B que admite função inversa (de B em A)
Dada uma função total f de A em B, a função f -1de B em A tal que f -1(y) = x se e somente se f (x) = y, é chamada função inversa de f . A função (total) f é bijeção se e somente se existe a função inversa de f.
Veja também: Relação Binária, Produto Cartesiano
Referências:
Edgard de Alencar Filho. Relações Binárias. São Paulo: Nobel, 1984.