GRADIENTE
Se f for uma função de duas variáveis x e y, e se as derivadas parciais fx e fy existirem, então o gradiente de f, denotado por Ñf (leia "del de f"), é definido por
Ñf(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y))
Exemplo: Se f(x, y) = x2 + xy + 3y2, então para calcularmos o gradiente de f no ponto (2, 1), isto é Ñf(2, 1), primeiro calculamos as derivadas parciais fx e fy.
fx(x, y) = 2x + y, fy(x, y) = x + 6y
donde:
fx(2, 1) = 5 e fy(2, 1)= 8
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Ñf(2, 1) = (fx(2, 1), fy(2, 1)) = (5, 8)
Dada uma superfície em R3, formada pelos pontos (x, y, f(x, y)) considerando uma curva de nível genérica dessa superfície (e tal curva estará no domínio da função f ), o vetor gradiente será perpendicular a tal curva de nível, estará contido no plano xy e apontará no sentido e direção em que a função tem a taxa máxima de variação.
Se f for uma função de 3 variáveis x, y, z e se as derivadas parciais fx, fy, fz existirem então o gradiente de f, denotado por Ñf é definido por:
Ñf(x, y, z) = (fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z))
Exemplo: O gradiente de f(x, y, z) = xyz + 2x2y2 + z-1 é:
Ñf(x, y, z) = (fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z)) =
= (yz + 4xy2, xz + 4x2y, xy - z-2)
Exercícios
Ache o gradiente da função dada
- f(x, y) = 4x2 – 3xy + y2
respostas-gradiente