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GRUPO

Tópicos:

Definição de grupo | Grupo abeliano | Grupo comutativo | Grupo multiplicativo | Grupo aditivo | Potências em grupos multiplicativos | Múltiplos de um elemento em grupos aditivos | Exemplos de grupos | Exemplos de grupos e não grupos

DEFINIÇÃO DE GRUPO

Definição 1

Um grupo é um conjunto não vazio G munido de uma operação * tal que

• * é operação associativa

• A operação * admite elemento neutro e em G

• Todo elemento de G é simetrizável

Definição 2

Um grupo é um monóide onde todo elemento é inversível

Definição 3

Um grupo é um semi-grupo com elemento neutro e onde todo elemento admite elemento inverso

Definição 4

Um grupo é um grupóide com operação associativa, elemento neutro e onde todo elemento é simetrizável.

GRUPO ABELIANO

O mesmo que grupo comutativo. Um grupo abeliano (ou grupo comutativo) é um grupo (G, *) em que a operação * é comutativa em G, isto é, " x,y Î  G, x*y = y*x.

GRUPO MULTIPLICATIVO é um grupo no qual a operação considerada é algum tipo de multiplicação. Nesses grupos denota-se a operação pelo sinal "." de multiplicação ou por simples justaposição.

GRUPO ADITIVO é um grupo no qual a operação considerada é algum tipo de adição. Num grupo aditivo denota-se a operação pelo sinal "+" de adição.

POTÊNCIAS EM GRUPOS MULTIPLICATIVOS

Seja (G, *) um grupo multiplicativo com elemento neutro e. Então se a Î G

a⁰ = e; a¹ = a; e indutivamente aⁿ = a * a^n-1 ; a^-n = (a^-1)ⁿ ; aⁿ * a^m = a^n+m

MÚLTIPLOS DE UM ELEMENTO EM GRUPOS ADITIVOS

Seja (H, +) um grupo aditivo e b Î H. Então

0b = 0; 1b = b; nb = b + (n- 1)b; (- n)b = n(- b); mb + nb = (m + n)b

EXEMPLOS DE GRUPOS

Grupo Aditivo dos Inteiros, Grupo Aditivo dos Reais, Grupo Multiplicativo dos Reais não Nulos, Grupo Aditivo das Matrizes, Grupo Linear Geral, Grupo GL(n, K), Grupo SL(n, R), Grupo SL(n,K), Grupo das Rotações, Grupo Simétrico, Grupo Aditivo dos Inteiros Módulo m, Grupo Multiplicativo dos Inteiros Módulo p, Grupo Multiplicativo dos Inversíveis de um Anel, Grupo dos Quatérnios

• GRUPO ADITIVO DOS INTEIROS: o conjunto dos inteiros com a adição usual é um grupo denotado por (Z, +)
•  
  1. GRUPO ADITIVO DOS REAIS: o conjunto R dos números reais com a adição usual é um grupo denotado por (R, +)
  2. GRUPO MULTIPLICATIVO DOS REAIS NÃO NULOS: o conjunto dos reais não nulos com o produto usual é um grupo denotado por (R*, .)
  3. GRUPO ADITIVO DAS MATRIZES: o conjunto das matrizes quadradas reais de mesma ordem com a adição usual de matrizes é um grupo denotado por (M_n(R), +)
  4. GRUPO LINEAR GERAL: o conjunto das matrizes quadradas reais de ordem n com determinante não nulo, munido do produto usual de matrizes é um grupo denotado por GL(n, R) e chamado de grupo linear geral.
  5. GRUPO GL(n, K): se K um corpo, então o conjunto (grupo) GL(n, K) das matrizes quadradas inversíveis com entradas em K, munido da operação de multiplicação usual de matrizes é um grupo.
  6. GRUPO SL(n, R): o conjunto das matrizes quadradas de mesma ordem com entradas reais e determinante igual a 1, com o produto usual de matrizes, é um grupo denotado por SL(n, R)
  7. GRUPO SL(n, K): Se K é um corpo com unidade 1_K, então o conjunto (grupo) SL(n, K) das matrizes quadradas M com det(M) = 1_K e dotado da multiplicação usual de matrizes é um grupo.
  8. GRUPO DAS ROTAÇÕES: o conjunto G das matrizes Mq = , onde q é real pertencente ao intervalo [0, 2p ), é um grupo com o produto usual de matrizes, onde Mq é a matriz da transformação linear que gira um ponto P do plano R² em torno da origem de um ângulo q (sentido positivo trigonométrico) [Mais]
  9. GRUPO SIMÉTRICO: Seja I_n={1, 2, 3, ... , n}. S_n é o conjunto das bijeções em I_n munido da operação de composição de funções. S_n é um grupo chamado grupo simétrico de ordem n, e tem n! elementos.
• GRUPO ADITIVO DOS INTEIROS MÓDULO m: o conjunto dos inteiros módulo m munido da operação usual de adição em Z_m, denotado por (Z_m,+) = (Z/mZ, +) é o grupo aditivo dos inteiro módulo m.
• GRUPO MULTIPLICATIVO DOS INTEIROS MÓDULO p: o conjunto dos inteiros módulo p munido da operação usual de multiplicação em Z_p, denotado por ((Z/pZ) - [0], . ) é um grupo se, e só se p é primo. Nesse caso este grupo chama-se grupo multiplicativo dos inteiros módulo p. [Mais]
• GRUPO MULTIPLICATIVO DOS ELEMENTOS INVERSÍVEIS DE Z_n: denotado por (Z_n*, . ), onde Z_n* = {[m] Î Z_n | mdc(m, n) = 1}. Os elementos inversíveis de Z/nZ são os [m] tais que mdc(m, n) = 1 [Mais]
• GRUPO MULTIPLICATIVO DOS INVERSÍVEIS DE UM ANEL: Dado um anel (A, +, *) e A* o conjunto dos elementos inversíveis de A (aqueles que tem simétrico multiplicativo), então (A*, *) é o grupo multiplicativo dos elementos inversíveis do anel A.

• GRUPO DOS QUATÉRNIOS:

É denotado por Q₃ (ARNALDO, p.119,127) ou Q₈ (ADILSON, p.122).

É dado por:

Q₃ =

ou por:

Q₈ = {± 1, ± i, ± j, ± k}

onde i² = j² = k² = - 1 e ij = k, jk = i, ki = j, ji = - k, kj = - i, ik = - j

Q₃ e Q₈ são isomorfos.

[Mais]

EXERCÍCIO 1: Construir a tábua de operação do grupo Q₈ dos quatérnios

[Solução]

EXEMPLOS DE GRUPOS E NÃO GRUPOS

• {1, - 1} é um grupo com o produto usual de números reais.

• O conjunto dos inteiros com o produto usual não é grupo, pois nem todo inteiro tem inverso inteiro.
• O conjunto das matrizes reais n por n com o produto usual de matrizes não é um grupo, pois nem toda matriz admite inversa.

Autor desta página: Eric Campos Bastos Guedes - Niterói - RJ - Brasil

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Essa página foi visitada vezes. Última atualização: Domingo, 06 de Fevereiro de 2000

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