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IDEAL

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Tópicos: Ideal à Esquerda | Ideal à direita | Ideal (Bilateral) | Ideal Trivial | Ideal Impróprio | Ideal Próprio | Caracterização de Ideais | Ideal Primo | Ideal Maximal | Ideal Máximo | Ideal Gerado | Ideal Principal | Ideal Principal num Anel com Unidade | Ideal Principal num Anel Comutativo | Ideal Principal num Anel Comutativo com Unidade | Ideal Gerado num Anel Comutativo com Unidade | Ideal Gerado num Anel Comutativo | Ideal Gerado num Anel com Unidade | Ideal Gerado num Anel

Definição. Ideal à esquerda. Seja R um anel. Um subanel S de R é um ideal à esquerda de R sempre que:

• Para todo r Î R e todo s Î S, vale rs Î S, isto é, R·S Í  S

Exemplo 1. Ideal à esquerda. Seja R^2×2 o conjunto das matrizes 2 por 2 com termos reais.  Seja S o conjunto das 2 por 2 matrizes com entradas reais cujos elementos da primeira coluna são todos iguais a 0. É fácil ver que S é um ideal à esquerda de R^2×2, apesar de não ser um ideal à direita.

Exemplo 2. Ideal à esquerda. Seja (A, +, · ) um anel e a₁, a₂, ..., a_n elementos de A (n ³ 1). Considere o seguinte subconjunto de A:

Aa₁ + Aa₂ + ... + Aa_n  = {x₁a₁ + x₂a₂ + ... + x_na_n | x₁, x₂, ..., x_n Î A}

É fácil ver que o conjunto acima é um ideal de A à esquerda. Caso o anel A seja comutativo, o ideal à esquerda Aa₁ + Aa₂ + ... + Aa_n será um ideal bilateral de A. Se o anel A for comutativo com unidade, o ideal à esquerda Aa₁ + Aa₂ + ... + Aa_n será o ideal gerado por a₁, a₂, ..., a_n.

Exemplo 3. Ideal à esquerda. Seja R o anel das matrizes quadradas reais de ordem 3. Seja ainda X a matriz 3×3 que tem todos os termos nulos com exceção do elemento x_1,2 = 1; Y a matriz 3×3 que tem todos os termos nulos com exceção do elemento y_1,3 = 1. Assim o ideal (de R) à esquerda Rx + Ry é o conjunto das 3×3 matrizes reais cuja primeira coluna é formada só por zeros. 

Definição. Ideal à direita. Seja R um anel. Um subanel S de R é um ideal à direita de R sempre que:

• Para todo r Î R e todo s Î S, vale sr Î S, isto é, SR Í  S 

Exemplo 1. Ideal à direita.  Seja R^2×2 o conjunto das matrizes 2 por 2 com entradas reais. Seja D o conjunto das 2 por 2 matrizes com termos reais cujos elementos da primeira linha são todos iguais a 0. É facil ver que D é um ideal a direita de R^2×2, mas não é um ideal à esquerda.

Exemplo 2. Ideal à direita. Seja A um anel e a₁, a₂, ..., a_n elementos de A (n ³ 1). Considere o seguinte subconjunto de A:

a₁A + a₂A + ... + a_nA  = {a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n | x₁, x₂, ..., x_n Î A}

É fácil ver que o conjunto acima é um ideal de A à direita. Caso o anel A seja comutativo, o ideal à direita a₁A + a₂A + ... + a_nA  será um ideal (bilateral) de A. Se o anel A for comutativo com unidade, o ideal a₁A + a₂A + ... + a_nA  será o ideal gerado por a₁, a₂, ..., a_n.

Exemplo 3. Ideal à direita. Seja R o anel das matrizes quadradas reais de ordem 3. Seja ainda X a matriz 3×3 que tem todos os termos nulos com exceção do elemento x_2,1 = 1; Y a matriz 3×3 que tem todos os termos nulos com exceção do elemento y_3,1 = 1. Assim o ideal (de R) à direita xR + yR é o conjunto das 3×3 matrizes reais cuja primeira linha é formada só por zeros. 

Definição 1. Ideal. Seja R um anel e I um subanel de R. Se I é um ideal à esquerda e um ideal à direita de R, simultaneamente, então I é chamado de ideal de R ou ideal bilateral de R.

Definição 2. Ideal. Seja (R, +, · ) um anel. Um subconjunto não vazio I de R é chamado um ideal (de R) se as duas condições seguintes são satisfeitas:

1. Para todos x, y Î I, vale x - y ΠI, isto é, dados dois elementos quaisquer x, y em I, a diferença x - y está em I. Diz-se nesse caso que I é fechado para a diferença.
2. Para todo x Î I e todo r Î R, rx Î I e xr Î I, isto é, multiplicando (tanto à direita quanto à esquerda) um elemento qualquer do ideal I por um elemento qualquer do anel R, o produto permanece em I.

Exemplo 1. Ideal. Seja R um anel. {0} e R são sempre ideais de R, chamados ideais triviais de R ou ideais impróprios de R.

Exemplo 2. Ideal. Seja R^R o anel das funções reais de variável real, onde (f + g)(x) = f (x) + g(x) e (fg)(x) = f(x)g(x). O subconjunto I = {f : R à   R | f (1) = 0} Ì R^R é um ideal de R^R.

OBS. Num anel comutativo os ideais à esquerda e os ideais à direita são sempre ideais (bilaterais).

Definição. Ideal Trivial. Dado um anel R cujo elemento neutro da adição representamos por 0, os conjuntos {0} e R são chamados de ideais triviais de R, ou ideais impróprios de R

Definição. Ideal Impróprio. O mesmo que ideal trivial.

Definição 1. Ideal Próprio. Todo ideal que não é ideal impróprio, isto é, que não é ideal trivial, é chamado de ideal próprio.

Definição 2. Ideal Próprio. Dado um anel R com elemento neutro da adição representado por 0, um ideal próprio de R é um ideal I de R tal que I ¹ {0} e I ¹ R. 

Proposição. Caracterização de ideais. Seja (A, +, · ) um anel. Um subconjunto R de A é um ideal de A se e só se:

1. R ¹ Ø
2. para todo r Î R e todo a Î A vale ar Î R e ra Î R
3. para todos r, s Î R vale r - s Î R

Definição. Ideal Primo. Seja P um ideal em um anel A. Dizemos que P é um ideal primo (em A) quando:

1. P ¹ A
2. Para todos a, b Î A tais que ab Î P vale a Î P ou b Î P.

Exemplo 1. Ideal Primo. {0} = 0Z é um ideal primo de Z pois se a, b Î Z e ab Î Î {0} ou b Î {0}.

Exemplo 2. Ideal Primo. 4Z NÃO é um ideal primo de Z pois 2 × 2 = 4 Î 4Z, mas 2 Ï 4Z; do mesmo modo 6Z NÃO é um ideal primo de Z pois 4 × 3 = 12 Î 6Z, mas 4 Ï 6Z e 3 Ï 6Z.

Exemplo 3. Ideal Primo. Se p é um número primo então pZ é um ideal primo em Z. De fato, se a, b Î Z e ab Î pZ então p divide ab, logo p|a ou p|b, portanto a Î pZ ou b Î pZ.

 Exemplo 4. Ideal Primo. O ideal {[0]} em Z/6Z = {[0], [1], [2], [3], [4], [5]} não é um ideal primo pois [2][3] = [0] Î {[0]} mas [2], [3] Ï {[0]}

Definição 1. Ideal Maximal. Seja A um anel e M um seu ideal. Dizemos que M é ideal maximal (ou ideal máximo) de A se M ¹ A e se os únicos ideais de A que contém M são M e A.

Definição 2. Ideal Maximal. Seja A um anel. Um ideal M ¹ A é ideal maximal de A sempre que I ser ideal de A e M Í  I Í  A acarretar necessariamente I = M ou I = A.

Definição 3. Ideal Maximal. Dado um anel A dizemos que M ¹ A é ideal maximal de A se e somente se não existir um ideal I tal que Ì I Ì A com M ¹ I ¹ A.

Definição 4. Ideal Maximal. Dado um anel A e M um seu ideal, dizemos que M é ideal maximal de A quando M é um elemento maximal, no conjunto dos ideais de A diferentes de A, com respeito à relação de ordem inclusão.

Exemplo 1. Ideal Maximal. No anel A = Z×Z (produto direto) o ideal M = Z×2Z é maximal.

Exemplo 2. Ideal Maximal. No anel (Z, +, · ) o ideal 2Z é maximal. De modo mais geral, se p Î Z é um número primo, pZ é um ideal maximal de Z.

Exemplo 3. Ideal Maximal. O ideal 4Z NÃO é um ideal maximal de Z pois 4Z Ì 2Z Ì Z mas 2Z ¹ 4Z e 2Z ¹ Z.

Exemplo 4. Ideal Maximal. O ideal 6Z NÃO é um ideal maximal de Z pois 6Z Ì 3Z Ì Z mas 3¹ 6Z e 3Z ¹ Z.

Definição. Ideal Máximo. O mesmo que ideal maximal

Proposição. Números Primos e Ideais Maximais em Z. Seja p um inteiro positivo. São equivalentes:

1. pZ é um ideal maximal em Z
2. p é um número primo.

Exemplo 1. Como 3 é um número primo, 3Z é um ideal maximal de Z.

Exemplo 2. Como 4Z não é um ideal maximal de Z então 4 não é um número primo.

Exemplo 3. Como 7Z é ideal maximal de Z então 7 é um número primo.

Definição 1. Ideal Gerado. Seja (A, +, · ) um anel e S Í  A. O menor ideal de A que contém S chama-se ideal gerado  por S e é denotado por < S >. O ideal < S > é o menor ideal de A que contém S no sentido de que se I é um ideal qualquer de A satisfazendo S Í  I então vale < S > Í  I.

Definição 2. Ideal Gerado. Seja (A, +, · ) um anel e S Í  A. A interseção de todos os ideais de A que contém S é o ideal de A gerado por S que denotamos por < S >. 

Notação. Ideal Gerado. Se S = {a₁, a₂, ..., a_n} então denotamos o ideal < S > por < a₁, a₂, ..., a_n >.

Exemplo 1. Ideal Gerado. No anel Z o ideal 2Z é gerado pelo inteiro 2, isto é  2Z = < 2 >; do mesmo modo, no anel Z o ideal 6Z é gerado por 6, assim: 6Z = < 6 >. 

Exemplo 2. Ideal Gerado. No anel Z temos o ideal principal 6Z = < 12, 18 > = < 6 >. Note que mdc(12, 18) = 6.

Exemplo 3. Ideal Gerado.  Seja A um anel comutativo com unidade e a₁, a₂, ..., a_n elementos de A (n ³ 1). Considere o seguinte subconjunto de A:

a₁A + a₂A + ... + a_nA  = {a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n | x₁, x₂, ..., x_n Î A}

É fácil ver que o conjunto acima é um ideal de A. 

Definição. Ideal Principal. ideal principal é todo ideal gerado por apenas um elemento

Exemplo 1. Ideal Principal. No anel Z o ideal 4Z é um ideal principal já que 4Z = < 4 >. Na verdade todo ideal de Z é ideal principal, por isso se diz que Z é um domínio principal. É fácil ver que nZ é um ideal principal de Z, pois nZ = < n >. Todos os ideais de Z são da forma nZ.

Proposição. Ideal Principal. Seja (A, +, · ) um anel e x Î A. O ideal (bilateral) gerado por {x} em A é:

< x > = {ax + xb + rxt + nx : a, b, r, t Î A e n Î Z}

Proposição. Ideal Principal num Anel com Unidade. Seja (A, +, · ) um anel com identidade. O ideal (bilateral) gerado por {x} em A é:

< x > = {ax + xb + rxt : a, b, r, t Î A}

Proposição. Ideal Principal num Anel Comutativo. Seja (A, +, · ) um anel comutativo. O ideal gerado por {x} em A é:

< x > = {ax + nx : a Î A e n Î Z}

Proposição. Ideal Principal num Anel Comutativo com Unidade. Seja (A, +, · ) um anel comutativo com unidade. O ideal gerado por {x} em A é:

< x > = {ax : a Î A}

Proposição. Ideal Gerado num Anel Comutativo com Unidade. Seja A um anel comutativo com unidade e b₁, b₂, ..., b_n elementos de A (n ³ 1). Nesse caso o ideal gerado por b₁, b₂, ..., b_n é:

< b₁, b₂, ..., b_n >  = {a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n | a₁, a₂, ..., a_n Î A}

Notação. Ideal Gerado. Também usamos a seguinte notação:

Ab₁ + Ab₂ + ... + Ab_n = {a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n | a₁, a₂, ..., a_n Î A}

ou essa outra:

b₁A + b₂A + ... + b_nA = {b₁a₁ + b₂a₂ + ... + b_na_n | a₁, a₂, ..., a_n Î A}

Proposição. Ideal Gerado num Anel Comutativo. Seja (A, +, · ) um anel comutativo e b₁, b₂, ..., b_m elementos de A (n ³ 1). Nesse caso o ideal gerado por B = {b₁, b₂, ..., b_m} é:

< B > = < b₁, b₂, ..., b_m >  = 

= {(a₁b₁ + n₁b₁) + ... + (a_mb_m + n_mb_m) | a_i Î A e n_i Î Z}

isto é:

< b₁, b₂, ..., b_m >  = (Ab₁ + Zb₁) + (Ab₂ + Zb₂) + ... + (Ab_m + Zb_m)

ou, de outro modo:

< b₁, b₂, ..., b_m >  = S_i=1^m Ab_i + Zb_i

Proposição. Ideal Gerado num Anel com Unidade. Seja (A, +, · ) um anel com unidade e S Í A. Nesse caso o ideal gerado por S é:

< S > = 

= {Sa_is_i + Ss_jb_j + Sr_ks_kt_k | somas finitas; s_i, s_j, s_k Î S; a_i, b_j, r_k, t_k Î A}

ou seja:

< S > =

= {x₁ + x₂ + ... + x_n | x₁, x₂, ..., x_n Î A·S + S·A + A·S·A e n Î N}

de outro modo:

< S > = S_{somas finitas} (A·S + S·A + A·S·A)

com a aritmética de conjuntos.

Proposição. Ideal Gerado num Anel. Seja (A, +, · ) um anel e S Í A. Nesse caso o ideal gerado por S é:

< S > = 

= {Sa_is_i + Ss_jb_j + Sr_ks_kt_k + Sn_us_u | somas finitas; s_i, s_j, s_k, s_u Î S; a_i, b_j, r_k, t_k Î A; n_uΠZ}

ou seja:

< S > =

= {x₁ + x₂ + ... + x_m | x₁, x₂, ..., x_m Î A·S + S·A + A·S·A + Z·S e m Î N}

de outro modo:

< S > = S_{somas finitas} (A·S + S·A + A·S·A + Z·S)

com a aritmética de conjuntos.

Referências

I. N. Herstein. Tópicos de Álgebra. São Paulo: Polígono, 1970.

Arnaldo Garcia, Yves Lequain. Álgebra: um curso de introdução. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1988. 213 páginas. (Projeto Euclides).

Hygino H. Domingues, Gelson Iezzi. Álgebra Moderna. 2. ed. São Paulo: Atual, 1982.

T. M. Viswanathan. Introdução à Álgebra e a Aritmética. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1979.

Antônio Marmo de Oliveira, Agostinho Silva. Biblioteca da Matemática Moderna, tomo 2. 4. ed. São Paulo: Lisa, 1971. 804 páginas.

Autor desta página: Eric Campos Bastos Guedes - Niterói - RJ - Brasil

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Essa página foi visitada vezes. Última atualização: Domingo, 06 de Fevereiro de 2000

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