INTEGRAL DEFINIDA
(integral de Riemann)
Tópicos: Partição | Refinamento de uma partição | Soma Superior | Soma Inferior | Somas Superior e Inferior | Comparação das Somas Superior e Inferior | Integral Superior | Integral Inferior | Desigualdade das Integrais Superior e Inferior | Desigualdade das Somas de Riemann em Partições Refinadas | Função Integrável | Exemplo de Função Integrável | Exemplo de Função não Integrável | Integral Definida | Integral de Riemann | Caracterização de Função Integrável | Integrabilidade da soma, da diferença, do produto, do quociente e do módulo | Integrabilidade das Funções Contínuas em Intervalos Fechados | Integrabilidade das Funções Monótonas em Intervalos Fechados | Conjunto Admissível | Soma de Riemann | Norma de uma Partição | Integral como Limite
INTEGRAL DEFINIDA DE FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL
Definição. Partição. Uma partição de um intervalo [a, b] é um subconjunto finito p = {t0, t1, t2, ..., tn} Ì [a, b] tal que a = t0 < t1 < t2 < ... < tn = b.
Definição. Refinamento de uma partição. Seja p1 uma partição do intervalo [a, b]. Uma partição p2 é dita um refinamento da partição p1 se p2 contém p1
Definição. Soma superior. Seja f : [a, b] à R, p = {a = t0 < t1 < ... < tn = b} uma partição de [a, b] e Mi = sup { f (x) : x Î [xi-1, xi] }. Definimos a soma superior de f com relação à partição p por S(f, p) = M1(t1 - t0) + M2(t2 - t1) + ... + Mn(tn - tn-1)
Definição. Soma inferior. Seja f : [a, b] à R, p = {a = t0 < t1 < ... < tn = b} uma partição de [a, b] e mi = inf { f (x) : x Î [xi-1, xi]}. Definimos a soma inferior de f com relação à partição p por s(f, p) = m1(t1 - t0) + m2(t2 - t1) + ... + mn(tn - tn-1)
Definição. Somas superior e inferior. As somas superior e inferior são somas de Riemann. Dada uma função f limitada e uma partição p , definimos as somas superior e inferior respectivamente pelas expressões:
onde Mj = sup { f (x) : x Î [xj-1, xj] } e mj = inf { f (x) : x Î [xj-1, xj] } e onde
S(f, p ) é a soma superior de f com respeito a partição p e
s(f, p ) é a soma inferior de f com respeito a partição p .
Teorema. Comparação das somas superior e inferior. Sejam p 1 e p 2 duas partições quaisquer de [a, b]. Então,
s(f, p 1) £ S(f, p 2)
Nota: o sup (supremo) e o inf (ínfimo) acima existirão, uma vez que a função f é limitada
Definição.
Integral superior. Seja f
: [a, b] à R uma função real limitada em um intervalo
fechado [a, b]. A integral superior de f,
designada por 
é o
ínfimo das somas superiores. Em
símbolos:
onde P é o conjunto de todas as partições de [a, b].
Definição.
Integral inferior. Seja
f : [a, b] à R uma função
real limitada em um intervalo fechado [a, b].A integral
inferior de f, designada por 
é o supremo das somas
inferiores. Em símbolos
onde P é o conjunto de todas as partições de [a, b].
Teorema. Desigualdade das integrais superior e inferior. Seja f : [a, b] à R uma função limitada. Então a integral inferior não supera a integral superior, isto é, a integral inferior é menor ou igual a integral superior. Simbolicamente
Teorema. Desigualdade das somas de Riemann em partições refinadas.
Sejam p1 e p2 duas partições do intervalo [a, b], com p2 sendo um refinamento de p1. Então,
S(f, p2) £ S(f, p1)
s(f, p2) ³ s(f, p1)
Isto significa que quando refinamos uma partição a soma superior não aumenta e a soma inferior não diminui.
Definição. Função integrável. Uma função limitada f : [a, b] à R é chamada função integrável quando sua integral superior e sua integral inferior são iguais.
Exemplo. Função integrável. A função constante é integrável
Exemplo. Função não integrável. A função de Dirichilet, função f : [0, 1] à {0, 1} tal que f(x) = 1 se x é irracional e f(x) = 0 se x é racional. Nesse caso como para toda partição P do intervalo [0, 1] vale S(f, P) = 1 e s(f, P) = 0, a integral superior é igual a 1 e a integral inferior é igual a 0.
Definição. Integral (de Riemann). Dada uma função integravel f : [a, b] à R, a integral de f é igual ao valor comum de sua integral inferior e de sua integral superior.
Definições. Função integrável e integral de uma função.
Uma função limitada f : [a, b] à R é integrável se
O valor comum das integrais superior e inferior é chamado a integral
de f, que se designa por 
ou por 
.
Portanto, se f é integrável temos
Teorema. Caracterização de função integrável. Seja f : [a, b] à R uma função limitada. São equivalentes:
(1) f é integrável
(2) Para todo e > 0 dado, existem partições p1 e p2 do intervalo [a, b] tais que S(f, p1) - s(f, p2) < e
(3) Para todo e > 0 dado, existe uma partição p do intervalo [a, b] tal que S(f, p) - s(f, p ) < e
(4) O conjunto dos pontos de descontinuidade de f tem medida nula
Teorema. Integral da soma, da diferença, do produto, do quociente e do módulo. Sejam f, g : [a, b] à R funções integráveis. Então:
(1) A integral da função h = f + g é a soma das integrais de f e g.
(2) A integral da função h = f - g é igual a integral de f menos a integral de g.
(3) A função h=fg é integravel mas normalmente a integral de h=fg não é igual ao produto das integrais de f e g.
(4) Se existe um número real positivo k tal que para todo x Î [a, b] vale 0 < k £ |g(x)| então a função h = f / g é integravel, mas normalmente a integral de h = f / g não é o quociente das integrais de f e g
(5) | f | é integrável e o módulo da integral de f é menor ou igual a integral do módulo de f .
Teorema. Primeira condição suficiente para integrabilidade. Toda função contínua f : [a, b] à R em um intervalo fechado [a, b] é integrável
Teorema. Segunda condição suficiente para integrabilidade. Toda função monótona f : [a, b] à R definida em um intervalo fechado [a, b] é integrável
Definição. Conjunto Admissível. Dada uma partição p = {a = x0 < x1 < ... < xn = b} um conjunto Y = {y1, y2, ..., yn} é admissível para p se yj Î [xj-1, xj] para j = 1, 2, ..., n.
Definição. Soma de Riemann. Dados uma partição p = {a = x0 < x1 < ... < xn = b} e um conjunto admissível Y = {y1, y2, ..., yn} associado a p , a soma de Riemann associada a p e Y, que se designa por s(f, p, Y) é definida por
Definição. Norma de uma Partição. A norma de uma partição p = {a = x0 < x1 < ... < xn = b}, designada por ||p|| é definida por
isto é, a norma da partição p é o comprimento do maior dos subintervalos [xj-1, xj], para j = 1, 2, ..., n.
Teorema. Integral como Limite. Sejam f : [a, b] à R uma função integrável limitada, (pk) uma sucessão qualquer de partições de [a, b] tal que ||pk|| à 0 quando k tende a infinito e Yk um conjunto admissível para p k. Então:
se o limite existir. Além disso vale a recíproca, isto é, se o limite acima existir ele será a integral de f.
Veja também: Antiderivada, Fórmulas de Integração, Primitiva, Técnicas de integração
Referências:
Djairo Guedes de Figueiredo. Análise I. 2.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
Elon Lages Lima. Análise Real, volume 1. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq, 1989. 200pp. (Coleção Matemática Universitária)