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OPERAÇÃO

Tópicos:

Operação binária | Comutatividade | Associatividade | Distributividade à esquerda | Distributividade à direita | Distributividade | Operações n-árias | Operações ternárias | Operações unárias

Definição. Operação binária (ou simplesmente operação)

Toda função f: A×A à A, onde A é um conjunto não vazio recebe o nome de operação sobre A, ou operação interna em A, ou lei de composição interna em A, operação binária em A, ou apenas operação, quando não há confusão possível sobre qual é o conjunto A.

Exemplos

• A adição (usual) de dois números inteiros é uma operação que leva o par (a, b) no inteiro a+b.
• A multiplicação (usual) de dois números naturais é uma operação. Ela leva o par de naturais (a, b) no número natural ab.
• A subtração de números naturais não é uma operação, visto que a diferença de dois números naturais nem sempre é um número natural. De fato, a relação binária f: N×N à N, tal que f(x, y) = x – y não é uma função, visto que, não existe f(2, 4), uma vez que o contradomínio é o conjunto dos números naturais, e 2 – 4 não é natural. Por esse motivo o par (2, 4) do conjunto de saída N×N não está ligado a nenhum elemento do conjunto de chegada N.
• Se f: Q×Q à Q é f(a, b) = a/b, então f também não é operação, pois não existe f(1, 0).

PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES BINÁRIAS

Definição. Operação comutativa (comutatividade)

Uma operação Å : A ´ A à A é comutativa quando para todos os elementos a, b Î  A tivermos a Å b = b Å a, isto é,

Å : A ´ A à A é comutativa se e só se " a, b Î A, a Å b = b Å a

Exemplos.

1. A adição usual de números naturais é uma operação comutativa
2. A multiplicação usual de números inteiros é uma operação comutativa
3. A adição usual de números racionais é operação comutativa
4. A multiplicação usual de números reais é operação comutativa
5. A adição de matrizes com entradas reais goza da comutatividade
6. A adição usual de funções reais é comutativa
7. O produto usual de funções reais é comutativo
8. A adição de vetores de R² é operação comutativa
9. O produto de matrizes quadradas de ordem n > 1 com entradas reais não é comutativo pois, existem matrizes A e B quadradas de ordem n > 1 com entradas reais para as quais AB ¹ BA.
10. Se S₃ é o conjunto das bijeções de {1, 2, 3}, então a operação de composição de funções em S₃ não é comutativa.
11. Se S_n é o conjunto das bijeções de {1, 2, 3, ... , n}, então a operação de composição de funções em S_n não é comutativa para n > 2, e é comutativa para n = 1 e n = 2
12. A operação de divisão de racionais positivos não é comutativa, pois existem a, b Î Q⁺ tais que a/b ¹ b/a, por exemplo, ½ ¹ 2/1
13. A operação de subtração de inteiros não é comutativa
14. A potenciação de inteiros positivos não é comutativa, pois 2³ = 8 ¹  9 = 3²
15. O produto vetorial em R³ não é comutativo pois para dois vetores quaisquer u, v Î R³ temos u ´ v = - (v ´ u)

Exercícios

Para cada operação a seguir, mostre que ela é comutativa se o for; de um contra-exemplo caso não o seja.

1. Operação  em R⁺ (reais positivos) definida por a  b =
2. Operação Å em R² definida por (a, b) Å (c, d) = (a + c, bd)
3. Subtração em Z
4. Divisão em Q^*
5. Potenciação em Z⁺
6. Operação Ä em R² definida por (a, b) Ä (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
7. Multiplicação de números complexos [dica]
8. Operação  definida no conjunto dos números reais por x   y = |x -  y|
9. Operação  definida no conjunto dos números complexos por xy = |x - y|
10. a Å b = a no conjunto dos números naturais

Definição. Operação associativa (associatividade)

Uma operação Ä : A ´ A à A é associativa quando quaisquer que sejam os elementos a, b, c do conjunto A vale (a Ä b) Ä c = a Ä (b Ä c), isto é,

Ä : A ´ A à A é associativa se e só se " a, b, c Î A, (a Ä b) Ä c = a Ä (b Ä c)

Exemplos

1. A multiplicação usual de números naturais é operação associativa
2. A adição usual de números inteiros é operação associativa
3. A multiplicação usual de números racionais é associativa
4. A adição usual de números reais é associativa
5. A multiplicação usual de números complexos é associativa
6. A multiplicação de matrizes é associativa
7. A composição de funções é associativa
8. A união e a interseção de conjuntos são operações associativas
9. O MDC de inteiros positivos é associativo, pois MDC(a, MDC(b, c)) = MDC(MDC(a, b), c)
10. O MMC de inteiros positivos é associativo, pois MMC(MMC(a, b), c) = MMC(a, MMC(b, c))
11. O produto vetorial em R³ não é associativo
12. A operação de potenciação de inteiros positivos não é associativa pois

Definição. Distributividade à esquerda

Sejam Å e Ä duas operações binárias em A. Dizemos que Ä é distributiva a esquerda com relação a Å quando

" a, b, c Î A, a Ä (b Å c) = (a Ä b) Å (a Ä c)

Exemplos

1. No conjunto R dos números reais a operação * tal que a * b = b é distributiva a esquerda com relação a subtração, pois a * (b -  c) = (a * b) -  (a * c)
2. No conjunto Z dos números inteiros a operação Ä tal que a Ä  b = a²b é distributiva com respeito a adição, pois para todos os inteiros x, y, z vale x Ä (y + z) = x Ä y + x Ä z

Definição. Distributividade a direita

Sejam Å e Ä duas operações binárias em A. Dizemos que Ä é distributiva a direita com respeito a Å quando

" a, b, c Î A, (a Å b) Ä c = (a Ä c) Å (b Ä c)

Exemplos

1. No conjunto R⁺ dos reais positivos, a divisão é distributiva a direita com relação a adição, isto é, para todos os reais positivos x, y, z vale (x + y) ¸  z = x ¸  z + y ¸  z
2. A potenciação é distributiva à direita em relação a multiplicação em Z⁺ pois (xy)ⁿ = xⁿyⁿ
3. Seja A um conjunto não vazio qualquer onde estão definidas as operações Å e Ä tais que a Ä b = a. Nesse caso Ä é distributiva a direita com relação a Å , isto é, (a Å b) Ä c = (a Ä c) Å (b Ä c)
4. No conjunto R^A das funções reais definidas num conjunto não vazio A, a operação de composição de funções é distributiva a direita com respeito a adição usual de funções reais, pois (g + h) o  f = (g o  f) + (h o  f)

Definição. Distributividade

Sejam Å e Ä duas operações binárias em A. Dizemos que Ä é distributiva com relação a Å quando cumprem-se simultaneamente

" a, b, c Î A, a Ä (b Å c) = (a Ä b) Å (a Ä c)

" a, b, c Î A, (a Å b) Ä c = (a Ä c) Å (b Ä c)

isto é, uma operação é distributiva quando é distributiva a esquerda e distributiva a direita.

Exemplos

1. A multiplicação usual em R é distributiva com relação à adição usual em R;
2. Se A é um conjunto não vazio qualquer então a união é distributiva em relação a interseção em P(A) (conjunto das partes de A), e a interseção é distributiva com respeito a união em P(A);
3. A multiplicação de matrizes é distributiva em relação à soma de matrizes;
4. Sejam a Å b = max{a, b} e a Ä b = min{a, b} respectivamente o máximo e o mínimo do subconjunto {a, b} de R. Nesse caso Å é distributiva com relação a Ä e Ä é distributiva com relação a Å .

Exercícios

1. Para cada par de operações, diga se uma é distributiva a esquerda ou distributiva a direita ou distributiva com relação a outra. Se for, demonstre que é, se não for, dê um contra exemplo.

1. Operações Å e Ä definidas por a Å b = a; a Ä b = b
2. Operações ¸ e - definidas em R^*
3. Operações D (diferença simétrica) e È (união) em 2^A (conjunto potência de A)
4. Operações D (diferença simétrica) e Ç (interseção) em 2^A (conjunto potência de A)
5. Adição usual + e Ä definida por a Ä b = 0 no conjunto dos números interos [Solução]
6. a Ñ b = 3a + 2b; a * b = 4ab no conjunto dos números reais
7. a Å b = a + b + 1; a Ä b = ab + a + b no conjunto dos números inteiros

Definição. Operações n-árias

Há também as operações n-árias, que são funções f: Aⁿ à A, onde Aⁿ denota o produto cartesiano A×A×A× ... ×A.

A n vezes

Definição. Operação ternária

Uma operação 3-ária é dita uma operação ternária. Um exemplo de operação ternária é f: N×N×N à N, f(x, y, z) = xyz. Outro exemplo é f: Z³ à Z, f(x, y, z) = x - yz.

Definição. Operação unária

Uma operação 1-ária é dita uma operação unária. Um exemplo é f: R à R, f(x) = - 2x + 1. Por outro lado g: R à R, g(x) = x^1/2 não é operação unária, pois g(- 1) não pertence a R. A operação s : G à G que leva cada elemento g de um grupo aditivo G no seu elemento simétrico - g é uma operação unária em G.

Exercícios

Diga se é ou não uma operação. Se não for operação diga porque não é operação. Se for, classifique em unária, binária, ternária, etc. e diga se é comutativa e/ou associativa

1. f: Z×N à Z, f(x, y) = xy
2. g: {-1, 1}×{-1, 1} à {-1, 1}, g(x, y) = xy
3. h: N×N×N à N, h(x, y, z) = x + y - z
4. F: Q⁴ à Q, F(x, y, z, w) = xyzw

[Solução]

Veja também: Conjunto, Grupóide

Referências:

DEAN, Richard A. Elementos de Álgebra Abstrata. (Elements of Abstract Algebra). Trad. Carlos Alberto A. de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1974.

Autor desta página: Eric Campos Bastos Guedes - Niterói - RJ - Brasil

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Essa página foi visitada vezes. Última atualização: Sábado, 05 de Fevereiro de 2000

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