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RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA

Tópicos: Relação de Equivalência | Exemplos de relações de equivalência | Classe de Equivalência | Caracterização das relações de equivalência | Conjunto Quociente | Exemplos de Conjuntos Quociente

Relação de Equivalência

Uma relação R sobre um conjunto não vazio E é chamada relação de equivalência sobre E quando R é:

• Reflexiva: " x (xÎ E ==> xRx)
• Simétrica: " x,y (xRy ==> yRx)
• Transitiva: " x,y,z (xRy e yRz ==> xRz)

EXEMPLOS DE RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA

• A relação de igualdade
• A relação de paralelismo
• A congruência módulo m

Classe de Equivalência

Seja A um conjunto não vazio e R uma relação de equivalência em A. Nesse caso a classe de equivalência de a Î A é o conjunto:

[a] = {x Î A | xRa}

CARACTERIZAÇÃO DAS RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA

Seja A um conjunto e ~ uma relação de equivalência em A. Temos:

• [a] Ç [b] ¹ Æ ==> a ~ b
• a ~ b ==> [a] = [b]

Teorema: Decomposição de um conjunto por uma relação de equivalência

Uma relação de equivalência em A determina uma decomposição de A como união disjunta de suas classes de equivalência.

Conjunto Quociente

Dado um conjunto A e uma relação de equivalência ~ em A, o conjunto das classes de equivalência é dito o conjunto quociente, e é denotado por A/~

EXEMPLOS DE CONJUNTOS QUOCIENTE

• O plano pode ser decomposto como um conjunto de retas paralelas a uma reta r dada. Cada reta paralela a r é a classe de equivalência dos pontos que a compõem. Dois pontos do plano estarão relacionados se pertencerem a uma mesma reta, isto é, se a reta por eles determinada for paralela a r. O conjunto de todas as retas do plano paralelas a r é o conjunto quociente
• O espaço pode ser decomposto em superfícies esféricas com centros num ponto P. Cada superfície esférica é a classe de equivalência dos pontos que a compõem. Dois pontos estarão relacionados se pertencerem a uma mesma superfície, isto é, se suas distâncias à P forem iguais. O conjunto de todas as superfícies esféricas centradas em P é o conjunto quociente.
• O conjunto dos inteiros pode ser decomposto em duas classes de equivalência: a dos pares e a dos ímpares. Nesse caso dois inteiros estarão relacionados se tiverem a mesma paridade e o conjunto quociente tem 2 elementos, a saber, o conjunto dos números pares e o conjunto dos números ímpares.

Autor desta página: Eric Campos Bastos Guedes - Niterói - RJ - Brasil

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Essa página foi visitada vezes. Última atualização: Segunda-feira, 31 de Janeiro de 2000

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