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SEMIGRUPO
Definição. Semi-grupo
Um semigrupo é um grupóide (G, *) onde a operação * é associativa.
De outro modo: um semi grupo é um conjunto não vazio G munido de uma
operação associativa * e denotado pelo par
ordenado (G, *).
Exemplos. Semigrupos
- Todo grupo é um semi-grupo
- Todo monóide é um
semi-grupo
- O par (S, *) é um semi-grupo se S é um conjunto não vazio e para a, b Î S
tivermos a*b = a
- Se A é um conjunto não vazio de números reais e para x,
y Î A valer x Å y = sup{x, y},
então o par (A, Å ) é um
semi-grupo.
Contra-exemplos. Semigrupos
- O conjunto N dos números naturais
munido da operação a*b = ab
de potenciação é um grupóide mas NÃO é
um semigrupo pois a operação * não é associativa em N.
- O conjunto R dos números reais munido da operação * que
satisfaz a*b = (a + b)/2
é um grupóide que NÃO é um semigrupo, pois * não é associativa em R.
- Se P é o conjunto dos números pares e a Å b
= a + b + 1 então o par
ordenado (P, Å ) NÃO é
um semigrupo, pois (P, Å ) não é um grupóide, já que Å não é operação, pois Å não é
fechada em P, pois, por exemplo 2 Å
2 = 5 Ï P.
EXERCÍCIOS
- Mostre que o conjunto não vazio B
munido da operação Ä que satisfaz x Ä y = y
é um semigrupo. Compare isso com o exemplo (3) acima.
- Prove que se C é um conjunto
não vazio de números reais munido da operação * que
satisfaz x*y = inf{x, y},
então (C, *) é um semigrupo.
SEMIGRUPO COMUTATIVO
Definição. Semigrupo
comutativo
Um semi-grupo (S, *) é dito semigrupo comutativo quando a operação * é comutativa em S.
Exemplos. Semigrupo
comutativo
- Todo grupo
abeliano é um semigrupo
comutativo.
- Todo monóide comutativo é
um semigrupo comutativo.
- Toda estrutura
algébrica munida de uma operação
associativa e comutativa é um semigrupo comutativo.
EXERCÍCIOS
- Seja E um conjunto não vazio qualquer e
P(E) o conjunto potência de E. Mostre que o par ordenado
(P(E), D ) é um semigrupo comutativo, onde A D B é
a diferença simétrica de A e B. [Solução]
- Dado um conjunto qualquer E não vazio
seja U = P(E) o conjunto das partes de E. Mostre que o
conjunto U munido da operação de união é um semigrupo
comutativo. [Solução]
- Dado um conjunto qualquer E não vazio
seja U = P(E) o conjunto das partes de E. Mostre que o
conjunto U munido da operação de interseção é um
semigrupo comutativo. [Solução]
Veja também: Grupo, Monóide, Estruturas Algébricas, Operação
Referências:
ALENCAR FILHO, Edgard de. Elementos de
Álgebra Abstrata. 4. ed. São Paulo: Nobel, 1990
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