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SUBANEL
Tópicos:
Definição de Subanel |
Exemplos de Subaneis
| Caracterização de Subanel | Subconjuntos que não são Subaneis
Definição.
Subanel. Seja (A, +, · )
um anel. Dizemos que um subconjunto S Í A
é um subanel de (A, +, · ) se e só se (S, +, · )
também é um anel. (As operações + e · em (S, +, · )
são as operações + e · de (A, +, · ) restritas a S).
Exemplos.
Subaneis.
- Admitindo que Z Ì Q
Ì
R Ì
C, podemos dizer que Z, Q e R são subaneis
de (C, +, · );
Z e Q são subaneis de (R, +, · ); Z
é subanel de (Q, +, · ). Podemos dizer isso porque
além das inclusões Z Ì Q Ì R Ì C, (Z, +, · ), (Q, +, · )
e (R, +, · ) são aneis.
- 2Z = {2z | z Î Z}
munido da adição e multiplicação usuais restritas a 2Z é um
subanel de Z.
- Dado um inteiro n, o conjunto
nZ = {nz | z Î
Z} é um subanel de (Z, +, · ).
- {0} e S são sempre subaneis
de S.
Obs. as vezes falamos "o
subanel S" querendo dizer "o subanel (S, +, · )",
como foi feito no exemplo iv. acima, onde nem sequer mencionamos as operações.
Proposição. Caracterização
de Subanel. Seja (A, +, · ) um anel e
S Í A.
O conjunto S é um subanel
de (A, +, · ) se e somente se cumprirem-se as seguintes
condições:
- S ¹
Ø, isto é, S é um conjunto
não vazio.
- "x,y
(x, y Î
S ==> x - y Î
S), isto é, a diferença de dois elementos quaisquer de S é
um elemento de S.
Diz-se nesse caso que S é fechado para a diferença.
- "x,y
(x, y Î
S ==> xy Î
S), isto é, o produto de dois quaisquer elementos
de S é um elemento
de S, ou seja, S é fechado para o produto.
Exemplos. Subconjuntos
que não subaneis.
- O conjunto dos inteiros positivos
não é um subanel do conjunto dos números inteiros munido da adição e
produto usuais, pois a diferença de dois inteiros positivos pode não ser
um inteiro positivo (ex. 1 - 2 = -1). De outro modo, o conjunto dos inteiros
positivos não é fechado para a diferença.
- O conjunto 2Z + 1 = {2z + 1
| z Î Z}
dos números ímpares não é um subanel de (Z, +, · ),
pois a diferença de dois ímpares não é um número ímpar.
Veja também: Anel, Isomorfismo,
Operação
Referências
Adilson Gonçalves. Introdução à
Àlgebra. 3. ed. Rio de Janeiro: Instituto de
Matemática Pura e Aplicada, 1979. 194 pp. (Projeto Euclides)
Richard A. Dean. Elementos de Álgebra Abstrata;
tradução de Carlos Alberto A. de Carvalho. Rio de Janeiro, Livros Técnicos
e Científicos, 1974. 332 páginas
Hygino H. Domingues, Gelson Iezzi. Álgebra Moderna.
2 ed. São Paulo: Atual, 1982
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