SUCESSÃO
Tópicos: Sucessões | Seqüência | Sucessões crescentes | Sucessões não crescentes | Sucessões decrescentes | Sucessões não decrescentes | Sucessões monótonas | Sucessões convergentes | Seqüências de Cauchy | Sucessões divergentes | Sucessões limitadas | Sucessão ilimitada | Subsucessões | Limite superior (lim sup) e limite inferior (lim inf) | Teorema de Bolzano-Weierstrass |
Dado um conjunto X, uma sucessão (ou seqüência) de elementos de X é uma função s: N à X. A idéia é que numa sucessão cada um de seus termos tem uma posição, uma ordem (primeiro termo, segundo termo, terceiro termo, etc.) Exemplos:
- Dado h: N à Q, h(n) = 1/n, h é uma sucessão
- Dado r: N à R, r(n) = n1/2, r é seqüência
Normalmente escrevemos sn para designar s(n). Exemplos:
- Na sucessão h(n) = 1/n, temos que h1 = 1, h2 = ½, h3 = 1/3, etc.
- Na sucessão r(n) = n1/2, temos r1 = 1, r4 = 2, r9 = 3, r10 = 101/2
A sucessão s pode ser indicada por (s1, s2, s3, ... ) onde temos seus primeiros elementos (termos) em ordem crescente dos índices. Exemplos:
- A sucessão hn = 1/n pode ser indicada por (1, ½, 1/3, ¼, ... ), que é diferente de (1/2, 1, 1/3, ¼, ... ), devido a ordem diferente dos elementos (termos).
- A seqüência pn = 2n pode ser indicada por (2, 4, 6, 8, ... ). Temos p1 = 2, p2 = 4, ... , p100 = 200, etc.
Numa sucessão s = (s1, s2, s3 , ... ), os números s1, s2, s3, etc. são chamados de termos da sucessão. Exemplo:
- Se temos a sucessão p tal que pn = 2n, então 10 é termo de p, enquanto 11 não é.
- Se i é a sucessão dos números naturais ímpares em ordem crescente, isto é, i = (1, 3, 5, 7, ... ), então 7 é (o terceiro) termo de i, 3 é (o segundo) termo de i, enquanto - 3 e 16 não são termos de i
Uma sucessão s pode ser definida pela sua lei de formação. Exemplos:
- A seqüência hn = 1/n = (1, ½, 1/3, ¼, ... ), pode ser escrita como (1/n) ou como (1/n)nÎN
- A sucessão an = 2n = (2, 4, 8, 16, ... ) das potências de 2 pode ser escrita como (2n) ou como (2n)nÎN
Definição. Sequência. O mesmo que sucessão.
Sucessões crescentes, não crescentes, decrescentes e não decrescentes
Uma sucessão (sn) é crescente quando " n Î N, sn < sn+1, isto é, quando cada termo cresce em relação ao anterior. Nesse caso cada termo é maior que todos os anteriores e menor que todos os sequintes. Uma sucessão é crescente quando é uma função crescente. Toda sucessão crescente é não decrescente. Exemplos:
- (n) = (1, 2, 3, ... )
- (1- 1/n)nÎN
- (2n)
Uma sucessão (sn) é não crescente quando " n Î N, sn+1 £ sn, isto é, quando cada termo não cresce em relação ao anterior. Nesse caso cada termo é menor ou igual aos anteriores e maior ou igual aos seguintes. Uma sucessão é não crescente quando é uma função não crescente. Toda sucessão decrescente é não crescente. Exemplos:
- (- n) = (- 1, - 2, - 3, ... )
- (1, 1, 1, 1, ... ) = (1)nÎN
- (- 1, - 2, - 2, - 3, - 3, - 3, - 4, - 4, - 4, - 4, - 5, ... )
- ([1000/n]) = (1000, 500, 333, 250, ... ) (veja função maior inteiro)
Uma sucessão (sn) é decrescente quando " n Î N, sn+1 < sn, isto é, quando cada termo decresce em relação ao anterior. Nesse caso cada termo é menor que os anteriores e maior que os sequintes. Uma sucessão é decrescente quando é uma função crescente. Toda sucessão decrescente é não crescente. Exemplos:
- (- n) = (- 1, - 2, - 3, ... )
- (1/n)nÎN
- (1/2n)
Uma sucessão (sn) é não decrescente quando " n Î N, sn+1 ³ sn, isto é, quando cada termo não decresce em relação ao anterior. Nesse caso cada termo é maior ou igual aos anteriores e menor ou igual aos seguintes. Uma sucessão é não decrescente quando é uma função não decrescente. Toda sucessão crescente é não decrescente. Exemplos:
- (n) = (1, 2, 3, ... )
- (1, 1, 1, 1, ... ) = (1)nÎN
- (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ... )
- (5 - [5/n]) = (0, 3, 4, 4, 4, 5, 5, ... ) (veja função maior inteiro)
As seqüências crescentes, decrescentes, não crescentes e não decrescentes chamam-se seqüências monótonas.
Uma sucessão (an) converge para um numero real r (dito limite da sucessão) se para todo real e > 0 existir um número natural n0 (que normalmente depende de e ) tal que para todo natural n > n0 vale |an - r| < e . De outro modo: diz-se que o número real r é limite da seqüência (an) de números reais e escreve-se r = lim an quando para cada número real e > 0, por menor que seja, for possível obter um natural n0 tal que a distância d(an, r) entre an e r seja menor que e , sempre que n > n0. De outro modo: lim an = r se e só se todo intervalo de centro r contiver todos os termos de (an) com exceção de um número finito de termos da seqüência (an). Em linguagem simbólica temos:
lim an = r := " e > 0, $ n0Î N, " nÎN, n > n0 à |an – r| < e
onde o símbolo := significa " é definido por", isto é, o que está a direita é definição do que está a esquerda.
Intuitivamente uma seqüência (an) é de Cauchy quando para naturais m e n suficientemente grandes os termos am e an tornam-se arbitrariamente próximos. Mais precisamente, uma seqüência (an) é uma seqüência de Cauchy quando dado arbitrariamente um número real e > 0, pode-se obter n0 Î N tal que m, n > n0 implica |am – an| < e . Simbolicamente temos:
" e > 0, $ n0 Î N, " m, n > n0 , |am – an| < e
Teorema: Uma seqüência é de Cauchy se, e só se é convergente. [Prova]
Uma sucessão é divergente quando não é convergente
Uma sucessão de números reais é limitada quando o conjunto de seus termos é limitado (veja conjunto limitado), isto é, quando a imagem da sucessão é um conjunto com cota superior e cota inferior. De outro modo, uma sucessão é limitada quando o conjunto de seus termos (que é sua imagem) está contido em algum intervalo limitado em R. Exemplos:
- A sucessão dos números naturais (1, 2, 3, 4, ... ) não é limitada, pois o conjunto N dos números naturais não é limitado em R
- A sucessão constante (9, 9, 9, 9, ... ) é limitada pois sua imagem, a saber {9}, está contida no intervalo limitado [8, 10).
- A sucessão (1/n)nÎN é limitada pois - 1 é uma sua cota inferior e 2 é uma sua cota superior
- A sucessão (0, - 1, 0, - 2, 0, - 4, 0, - 8, ... ) não possui cota inferior, logo não é limitada
Uma sucessão é ilimitada quando não é limitada
SUBSSUCESSÃO (OU SUBSEQüÊNCIA)
COMO RECONHECER UMA SUBSUCESSÃO
Dada uma sucessão s = (s1, s2, s3, s4, ... ), toda subsucessão de s pode ser obtida de s simplesmente "apagando" de s alguns (ou nenhum) de seus termos. Obtemos de s uma sua subseqüência "apagando" da representação de s uma quantidade finita ou infinita de termos de s. Exemplo:
- Dada a sucessão s = (s1, s2, s3, s4, s5, s6, ... ) podemos "apagar" todos os termos de ordem par. O resultado será a subsucessão s’ = (s1, s3, s5, s7, s9 ... ) de s. Podemos "apagar" os 99 primeiros termos de s, e teremos a subsucessão s" = (s100, s101, s102, s103, ... ).
- Da sucessão (n) = (1, 2, 3, 4, ... ) dos números naturais podemos obter uma sua subsucessão "apagando" os números ímpares. O resultado será a sucessão (2n) = (2, 4, 6, 8, ... ). Se apagarmos de (n) todos os termos de (n) que não são quadrados perfeitos, o resultado será a subsucessão (1, 4, 9, 16, 25, 36, ... ) = (n2). Por outro lado as sucessões b = (2, 1, 3, 4, 5, 6, ... ) e d = (7, 8, 5, 10, 1000, 20, ... ) não são subsucessões de (n), pois não podem ser obtidas de (n) apenas pela supressão de termos de (n).
SUBSUCESSÃO: DEFINIÇÃO 1
Dada uma seqüência x = (xn)nÎN
de números reais, uma subseqüência (ou subsucessão) de x
é a restrição da função x a um subconjunto infinito
N’ = {n1 < n2 < n3 < ... < ni < ...}
Í N.
Esta subsucessão é escrita como x’ = (xn)nÎN’
ou 
ou ainda 
. Estritamente falando,
por esta definição, uma subsucessão x’ não uma
seqüência pois seu domínio N’ não é
necessariamente igual a N. Mas é normal
considerar x’ como função definida em n,
a saber, a função 
Daí o emprego da notação 
.
SUBSUCESSÃO: DEFINIÇÃO 2
Dada uma sucessão x = (xn)
qualquer e uma seqüência crescente de números naturais n
= (ni)iÎN,
podemos definir uma subsucessão y = (yn)
da sucessão x como a função composta 
. É facil ver que y
é uma função definida no conjunto N dos
números naturais, sendo, portanto uma sucessão. Exemplos:
- Toda sucessão é subsucessão dela mesma;
- Dada a sucessão n = (1, 2, 3, ... ) dos números naturais, temos que q = (1, 4, 9, 16, ... ) = (n2) e i = (1, 3, 5, 7, 9, ...) = (2n – 1) são subsucessões de n, enquanto (0, 1, 2, 3, 4, ... ) = (n – 1), x = (2, 1, 3, 4, 5, 6, ... ) não são subsucessões de n;
- Dada a sucessão constante c = (1, 1, 1, 1, 1, ... ) sua única subsucessão é ela mesma, a saber, (1, 1, 1, 1, ... );
- Dada a sucessão a = (0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, ... ) temos que a sucessão constante (0, 0, 0, ... ) é uma sua subsucessão. A sucessão (1, 2, 3, 4, ... ) dos números naturais também é uma subsucessão de a, enquanto que as seqüências (0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, ... ) e (3, 2, 1, 0, 0, 0, 0 ... ) não são subseqüências de a.
LIMITE SUPERIOR E LIMITE INFERIOR (lim sup e lim inf)
Conceito de limite superior (lim sup) | Conceito de limite inferior (lim inf) | Definição 1 | Definição 2 | Definição 3 | Exemplos
Considere uma sucessão limitada x.
seja C uma sua cota superior, ou seja, um real maior ou
igual a qualquer termo de x. Imagine um ponto P
deslocando-se da posição C (no tempo t = 0)
para a esquerda, lenta e continuamente. Considere a quantidade q
de termos da sucessão x a direita de P ou
sobre P em cada instante. No instante t = 0,
temos q = 0, pois não há termos de x a
direita da posição inicial C do ponto P.
Porém como por definição todas sucessões tem uma infinidade
de termos (possivelmente não todos distintos), haverá um
instante t = t1 quando todos os
pontos da sucessão x (em quantidade infinita) estarão
a direita de P. Seja P(t) a posição
do ponto P no instante t, e q(t)
a quantidade de termos de x que estão sobre P(t)
ou a direita de P(t). Nesse caso, como P
move-se para esquerda conforme cresce t, q(t)
será não decrescente. Haverá um instante tsup
tal que para t < tsup, q(t)
será finito, e para t ³ tsup e
q(t) não será finito. Nesse caso o ponto P(tsup)
é chamado limite superior da sucessão x e
indica-se por: lim sup x = P(tsup)
ou 
Considere uma sucessão limitada x.
seja c uma sua cota inferior, ou seja, um real menor ou
igual a qualquer termo de x. Imagine um ponto P
deslocando-se da posição c (no tempo t = 0)
para a direita, lenta e continuamente. Considere a quantidade q
de termos da sucessão x a esquerda de P ou
sobre P em cada instante. No instante t = 0,
temos q = 0, pois não há termos de x a
esquerda da posição inicial c do ponto P.
Porém como por definição todas sucessões tem uma infinidade
de termos (possivelmente não todos distintos), haverá um
instante t = t1 quando todos os
pontos da sucessão x (em quantidade infinita) estarão
a esquerda de P. Seja P(t) a posição
do ponto P no instante t, e q(t)
a quantidade de termos de x que estão sobre P(t)
ou a esquerda de P(t). Nesse caso, como P
move-se para direita conforme cresce t, q(t)
será não decrescente. Haverá um instante tinf
tal que para t < tinf, q(t)
será finito, e para t ³ tinf e
q(t) não será finito. Nesse caso o ponto P(tinf)
é chamado limite inferior da sucessão x e
indica-se por: lim inf x = P(tinf)
ou 
DEFINIÇÃO 1 (lim inf e lim sup)
Dada uma sucessão limitada x = (xn) de números reais considere os conjuntos Cn = {xr : r ³ n} para n Î N. Seja bn o supremo de Cn e an o ínfimo de Cn. Nesse caso a sucessão b = (bn) é não crescente limitada e a = (an) é não decrescente limitada. Pelo Teorema das sucessões monótonas limitadas, tanto (an) como (bn) tem limite. O limite superior da sucessão x é definido como:
lim sup x = lim bn
e o limite inferior da sucessão x é definido como:
lim inf x = lim an
DEFINIÇÃO 2 (lim inf e lim sup)
O limite superior de uma sucessão x de números reais é o supremo do conjunto dos valores de aderência da sucessão x. O limite inferior de uma sucessão x de números reais é o ínfimo do conjunto dos valores de aderência da sucessão x.
DEFINIÇÃO 3 (lim inf e lim sup)
Seja (xn) uma seqüência limitada, digamos, p £ xn £ q para todo n natural. Seja ainda Xn = {xn, xn+1, xn+2, ... } = {xr | r ³ n}. Temos:
[p, q] Ê X1 Ê X2 Ê X3 Ê ... Ê Xn Ê ...
pondo an = inf Xn e bn = sup Xn, vem:
p £ a1 £ a2 £ a3 £ ... £ an £ ...£ bn £ ... £ b3 £ b2 £ b1 £ q
O limite inferior lim inf xn e o limite superior lim sup xn são definidos como:
lim inf xn = sup{an : n Î N} = lim an = supnÎN(inf Xn)
lim sup xn = inf{an : n Î N} = lim bn = infnÎN(sup Xn)
- Na sucessão constante (2, 2, 2, 2, ... ) limite superior é igual ao limite inferior sendo ambos iguais a 2
- Na sucessão s = (- 1, 1, - 1, 1, ... ) = ( (- 1)n) temos lim sup s = 1 e lim inf s = - 1
- Na sucessão r = ( (- 1)n + 1/n) temos lim inf r = - 1 e lim sup r = 1
- Na sucessão x = (xn), onde xn = {n21/2} ({x} aqui é a parte fracionária de x), temos lim sup x = 1 e lim inf x = 0
- Na sucessão (yn) onde yn = 1/n se n é ímpar e yn = 1 + 1/n se n é par, temos lim inf yn = 0 e lim sup yn = 1
TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSTRASS
Toda sucessão limitada de números reais admite subsucessão convergente.